Чому реальна частина FFT перетворює зображення в обертання + оригінал?

16

Я прочитав це зображення:

взяв FFT (2D), а потім обернений FFT, щоб отримати точно зображення. Код надається для довідки:

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

Але коли я міняю фур'є і беру лише реальну участь,

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

Я отримую подібне зображення ( зауважте, що зміна розміру не має значення і лише завдяки збереженню його від обробника фігур Matlab ):

Чи може хтось пояснити мені теорію (математику) за нею? Спасибі

image-processing fft fourier-transform

— Невдалий вчений
джерело

16

Скажімо, ваш образ задається . Тоді його перетворення Фур'є задається $I(x,y)$

I^{f} (ω_{x}, ω_{y}) = \int_{x} \int_{y} I (x, y) e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y} d x d y

$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$

Тепер ви берете реальну частину і виконуєте зворотне:

\begin{aligned} I_{m} (α, β) & = \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {I^{f} (ω_{x}, ω_{y})} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} \\ = \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {\int_{x} \int_{y} I (x, y) e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y} d x d y} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} \\ = \int_{x} \int_{y} I (x, y) \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y}} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$

\cos (ω_{x} x) \cos (ω_{y} y) + \sin (ω_{x} x) \sin (ω_{y} y)

$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$

\frac{1}{2} [δ (x - α) δ (y - β) + δ (x + α) δ (y + β)]

$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$

$I_m$

I_{m} (x, y) = \frac{1}{2} [I (x, y) + I (- x, - y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$

$x,y>0$ $N$

I_{m} (x, y) = \frac{1}{2} [I (x, y) + I (N - x, M - y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$

N, M

$N,M$

— ThP
джерело

Гарна відповідь! +1

— Пітер К.

3

I think you can see now why got that result.Так. Однак, оскільки це питання потрапило до списку HNQ, можливо, ви б розглядали можливість додавання останнього кроку для тих, хто надходить з менш математичних сайтів.

— Щогли

9

$z$ $(x,y)$ $z^*$ $(-x,-y)$ про походження. Зауважте, що тут походження було б центром Фур'є-простору. Звичайно, це можна переформулювати, якщо компонент постійного струму не знаходиться в центрі вашої реалізації FFT. І це те, що ви бачите на своєму зображенні: Точковий варіант перекриває справжній образ - адже ви змусили один простір бути реальним.

Ця властивість фактично використовується для прискорення магнітно-резонансної томографії (МРТ) в деяких випадках: МРТ отримує дані безпосередньо у просторі Фур'є. Оскільки ідеальне зображення MR може бути описане лише реальними значеннями (усі збуджені вектори намагніченості мають фазу 0), вам потрібно лише придбати половину простору даних, що економить половину часу зображення. Звичайно, зображення MR не цілком реально оцінені через обмеження реальності ... але за допомогою декількох хитрощів ви все одно можете вигідно використовувати цю техніку.

— М529
джерело

2

Мені сподобався простий спосіб заявити ту саму відповідь, яку надав ThP. І дякую за інформацію про МРТ. Не знав про це.

— Не вдалося вченому