Як побудувати зсув фази з довільним зсувом фази

Фред, інженер DSP, вирушає до свого улюбленого магазину DSP, щоб зробити покупки.

Фред: Привіт, я хотів би придбати перемикач фаз.

Продавець: Хм, що саме ти маєш на увазі?

Фред: Ну, ви знаєте, якщо ви введете такий синусоїд, як ви отримаєте на виході, для будь-якого . І звичайно, має регулюватися. $x(t)=\sin(\omega_0t)$ $y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$ $\omega_0$ $\theta$

Продавець: Ой, бачу. Вибачте, ні, у нас їх немає. Але я пам’ятаю, що інші хлопці потребували того ж самого, і вони завжди купують трансформатор Гільберта, пару множників і суматор, і вони якимось чином з'єднують усі ці речі разом, щоб зробити регульований перемикач фаз.

Фред: О так, правда!

Фред прикидається, що розуміє, про що хлопець говорить. Звичайно, він не має уявлення, як це зробити. Він купує все, що сказав хлопцеві, що йому потрібно, і думає, що він може розібратися вдома, або, якщо все інше не вдається, він може попросити це на DSP.SE.

Як Фред може побудувати перемикач фаз з регульованим зсувом фази використовуючи компоненти, які він отримав у магазині? $\theta$

phase hilbert-transform dsp-puzzle

— Метт Л.
джерело

Чудовий! Будь ласка, уточніть, чи повинна фаза бути однаковою для всіх частот (у заданій смузі) чи чи буде достатньо постійної довільної затримки (за будь-якої частоти можна встановити фазу, але фаза буде лінійно змінюватися з частотою). Я думаю, що знаю відповідь для будь-якого випадку, але зачекаю пару днів, щоб побачити, що ще виходить!

— Дан Бошен

Цей магазин, про який ви говорите ... він поруч із готелем Hilbert's, правда?

— M529

Єдині пристойні трансформатори Гільберта, що знаходяться в магазинах навколо, здається, вони мають величезний внесок у затримку випуску. Я побачив деякі більш швидкі в каталозі машин часу, але відгуки Yelp для цього постачальника мають 0 зірок.

— hotpaw2

@DanBoschen: Будь-який синусоїдальний вхід зміститься на

, незалежно від його частоти. Тож затримка фази різна для кожної частоти.

θ

$\theta$

— Метт Л.

@ hotpaw2: Просто ігноруйте ці зірки і швидко отримуйте її, перш ніж вони будуть продані!

— Метт Л.

Відповіді:

Приємне запитання! Він використовує одну з моїх улюблених ідентифікацій тригерів (яка також може бути використана для показу, що квадратурна модуляція насправді одночасна амплітудна і фазова модуляція).

$\sin(2\pi f_0t)$ $-\cos(2\pi f_0t)$
$\sin (2 π f_{0} t + θ) = a \sin (2 π f_{0} t) + b \cos (2 π f_{0} t)$ $\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$ $a^2+b^2=1$ $\theta=\text{atan2}(b,a)$ $\theta=2.1$ $\tan(2.1)\approx-1.71$ $a$ $b$ $a^2+b^2=1$ $b/a=-1.71$ $a<0$ $b>0$ $a_0=-1$ $b_0=1.71$ $n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$ $a=a_0/n$ $b=b_0/n$ $a$ $-b$

Імпульсна характеристика описаної вище системи задається:

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

Блок-схема:

— МБаз
джерело

a

$a$

b

$b$

\cos θ

$\cos\theta$

\sin θ

$\sin\theta$

Для уточнення, чи можете ви додати імпульсну характеристику та / або частотну характеристику загальної системи?

— Метт Л.

Дуже хороший MBaz, це відповідає принципам того, про що я думав - по суті, "векторному модулятору", який є придбаним компонентом для цієї мети (як одна програма). Однак трансформатор HIlbert не можна придбати як реальний компонент, не обмежуючи його обмеженням смуги (або, мабуть, користувач може отримати інший трансформатор для кожної групи, що цікавить). Мені зараз дуже цікаво бачити рішення Метта, якщо воно буде іншим, оскільки це було все, що я міг придумати.

— Дан Бошен

a

$a$

b

$b$

@DanBoschen Так, я вважав, що трансформатор Гільберта ідеальний, що, на мою думку, добре для цієї головоломки. Мені також цікаво побачити альтернативне рішення Метта.

— MBaz

Відповідь MBaz правильна. Я просто хотів би додати ще один спосіб її мислення, що, звичайно, призводить до того ж результату:

$\theta$
$H (ω) = {\begin{cases} e^{- j θ}, & ω > 0 \\ e^{j θ}, & ω < 0 \end{cases}$ $H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$ $H (ω) = e^{- j θ sign (ω)} = \cos (θ) - j sign (ω) \sin (θ)$ $H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$ $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$ $g(t)=\frac{1}{\pi t}$ $h (t) = \cos (θ) δ (t) + \sin (θ) \frac{1}{π t}$ $h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$ $\sin(\theta)$ $\cos(\theta)$

$2N+1$ $N$

— Метт Л.
джерело

Приємне пояснення - аналог частотної області мого рішення часової області.

— MBaz

\sin (θ)

$\sin(\theta)$

\cos (θ)

$\cos(\theta)$