Чому важлива лінійна фаза?

16

Якщо умови симетрії дотримані, фільтри FIR мають лінійну фазу. Це не вірно для фільтрів IIR.

Однак для яких додатків погано застосовувати фільтри, які не мають цієї властивості, і який був би негативний ефект?

filters filter-design fir

17

Лінійний фазовий фільтр дозволить зберегти хвильову форму сигналу або компонента вхідного сигналу (наскільки це можливо, враховуючи, що деякі частоти будуть змінені в амплітуді дією фільтра).

Це може бути важливим у кількох областях:

когерентна обробка сигналу та демодуляція , де хвилеподібне значення має важливе значення, тому що на хвильовій формі має бути прийняте порогове рішення (можливо, у квадратурному просторі та з багатьма порогами, наприклад, модуляція 128 КАМ), щоб вирішити, чи прийнятий сигнал являє собою "1 "або" 0 ". Тому збереження або відновлення первісно переданої хвилі є надзвичайно важливим, інакше будуть прийняті помилкові порогові рішення, які б представляли трохи помилок у системі зв'язку.
обробка радіолокаційного сигналу , де хвильова форма повернутого радіолокаційного сигналу може містити важливу інформацію про властивості цілі
обробка звуку , де деякі вважають (хоча багато хто заперечує важливість), що "вирівнювання часом" різних компонентів складної хвилеподібної форми є важливим для відтворення або підтримки тонких якостей досвіду прослуховування (наприклад, "стереообраз" тощо)

— AndyW
джерело

4

(Я робив тести прослуховування ABX і зміг розрізнити модельований кроссовер Linkwitz-Riley 8-го порядку проти без. Імпульсивні звуки стають "щебетнішими", оскільки високі частоти надходять трохи раніше, ніж низькі. Тому №3 не зовсім надуманий.)

— ендоліт

1

Потрібно сказати, що властивість збереження форми хвиль застосовна лише для вузькосмугових сигналів ... У той же самий спосіб (для загальних широкосмугових сигналів) фільтр (лінійна фаза чи ні) буде змінювати форму сигналу настільки ж, наскільки імпульсна характеристика поєднується з сигналом. .

— Fat32

18

Дозвольте додати наступну графіку до вже наданих чудових відповідей.

Коли фільтр лінійний фазу, то всі частоти в межах цього сигналу будуть затримані на той самий час у часі (як математично описано у відповіді Fat32).

Будь-який сигнал можна розкласти (через серію Фур'є) на окремі частотні компоненти. Коли сигнал затримується через будь-який канал (наприклад, фільтр), доки всі ці частотні компоненти затримуються однакової кількості, той самий сигнал (інтерес-сигнал, що знаходиться в смузі пропускання каналу) буде відтворений після затримки .

Розглянемо квадратну хвилю, яка за допомогою розширення серії Фур'є показана як нескінченна кількість непарних гармонічних частот.

На графіці вище я показую підсумок перших трьох компонентів. Якщо всі ці компоненти затримуються на одну і ту ж суму, форма хвилі, що цікавить, недоторкана, коли ці компоненти підсумовуються. Однак значне спотворення групової затримки призведе до того, що кожен компонент частоти затримується в різний час.

Наведене нижче може допомогти дати додаткове інтуїтивне розуміння для тих, хто має радіочастотне чи аналогове походження.

Розглянемо ідеальну широкосмугову лінію затримки без втрат (таку, як приблизно, довжина коаксіального кабелю), яка може передавати широкосмугові сигнали без спотворень.

Функція передачі такого кабелю показана на графіці нижче, має величину 1 для всіх частот і фазу, що негативно збільшується в прямому лінійному співвідношенні з частотою. Чим довший кабель, тим крутіший нахил фази, але у всіх випадках "лінійна фаза".

Це має сенс; фазова затримка сигналу 1 Гц, що проходить через кабель із затримкою на 1 секунду, становитиме 360 °, тоді як сигнал 2 Гц з такою ж затримкою буде 720 ° тощо.

Повернення цього в цифровий світ, $z^{-1}$ - z-перетворення затримки 1 вибірки (отже, лінія затримки) з аналогічною частотною характеристикою на показану, як тільки з точки зору H (z); постійна величина = 1 і фаза, що йде лінійно від $0$ до $-2\pi$ від f = 0 Гц до f = fs (швидкість вибірки).

Найпростіше математичне пояснення полягає в тому, що фаза, лінійна з частотою і постійною затримкою, є парами перетворення Фур'є. Це властивість зсуву перетворення Фур'є. Постійна затримка в часі $\tau$ секунд призводить до лінійної фази по частоті $-\omega \tau$ , де $\omega$ - вісь кутової частоти в радіанах / с:

F {g (t - τ)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (t - τ) e^{j ω t} d t

$\mathscr{F}\{g(t-\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{j\omega t}dt$

u = t - τ

$u = t - \tau$

F {g (u)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω (u + τ)} d u

$\mathscr{F}\{g(u)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega (u+\tau)}du$

= e^{- j ω τ} \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω u} d u

$= e^{-j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega u}du$

= e^{- j ω τ} G (j ω)

$= e^{-j\omega \tau}G(j\omega)$

— Ден Бошен
джерело

3

Ден, твій графік із щасливим і сумним обличчям змусив мене сміятися вголос над тим, наскільки це просто інформативно! Чудово зроблено!

— Oreo

12

Просто для додання сказаного, ви можете це зрозуміти інтуїтивно, дивлячись на наступний синусоїд з монотонно зростаючою частотою.

Зміщення цього сигналу вправо або вліво змінить його фазу. Але зауважте також, що зміна фаз буде більшою для більш високих частот, і меншою для нижчих частот. Або іншими словами, фаза збільшується лінійно з частотою. Таким чином, постійний зсув часу відповідає лінійній зміні фази в області частоти.

— інструбхен
джерело

Найкраща відповідь imo.

— Фелікс Краццолара

11

τ (ω) = - \frac{d ϕ (ω)}{d ω}

$\tau(\omega) = - \frac {d\phi(\omega)}{d\omega}$

x [n]

$x[n]$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

$n_0$ $x[n]$ $y[n] = K x[n-n_0]$ $K$ $x[n]$ $\omega$ $K(w)$

Тоді в чому полягає вплив фільтра з нелінійною фазою (або затримкою групи, що залежить від частоти) на вхідний сигнал? Простим прикладом може бути складний вхідний сигнал, який розглядається як сума декількох хвильових пакетів на різних центральних частотах. Після фільтрації кожен пакет з певною центральною частотою зміщуватиметься (затримуватись) по-різному через групову затримку групи. І це призведе до зміни порядку (або порядку простору) цих хвильових пакетів, іноді різко, залежно від того, наскільки нелінійна фаза, що називається дисперсієюв терміналології комунікацій. Не тільки складені хвилеподібні форми, але й деякі порядки подій можуть бути втрачені. Цей тип дисперсійних каналів має такі серйозні наслідки, як ISI (інтерференційна інтерференція) на передані дані.

Ця властивість лінійних фазових фільтрів також відома як властивість збереження форми хвиль , яка застосовна, зокрема, для вузькосмугових сигналів. Приклад, коли важлива форма хвилі, крім ISI, як згадувалося вище, полягає в обробці зображень, де інформація про фазу перетворення Фур'є має першорядне значення порівняно з величиною перетворення Фур'є для розбірливості зображення. Це ж, однак, не можна сказати для сприйняття звукових сигналів через різного роду чутливості вуха до подразника.

— Жир32
джерело

Що означає узагальнена лінійна фаза в цьому контексті?

1

@ 0MW Я вважаю, що це означає, що також можливий постійний зсув фази, як у перетворенні Гільберта .

— Оллі Ніемітало

10

Відповідь на це питання вже чітко пояснена в попередніх відповідях. І все ж я хочу спробувати подати математичну інтерпретацію того ж самого

$H(w)$

$e^{jw_{0}t}$ $H(w_{0})e^{jw_{0}t}$

$H(w_{0})$ $arg(H(w))$ $|H(w)|$

а r г (Н (ш)) = К ш

$arg(H(w)) = Kw$

K

$K$

$e^{jw_{0}t}$

у (т) = | Н (ш) | * е^{j ш_{0} т + j К ш_{0}}

$y(t) = |H(w)|*e^{jw_{0}t + jKw_{0}}$

= | Н (ш) | * е^{j ш_{0} (т + К)}

$= |H(w)|*e^{jw_{0}(t + K)}$

Отже, якщо фаза лінійна, то всі частотні компоненти сигналу зазнають однакової кількості затримок у часовій області, що призводить до збереження форми.

— SakSath
джерело

1

Я просто покладу резюме для цих чудових відповідей, згаданих вище:

зміщення сигналу у часовій області призведе до зсуву фази, пропорційного частоті, тому f (t + dt) буде F (f) e (j2πfdt)
Коли фільтр з фазовим відгуком фазових частот всі частоти вхідного сигналу до цього фільтра зміщуватимуться з однаковою кількістю у часовій області, тому це призведе до можливості відтворення вхідного сигналу.

— Юссеф Рафаат
джерело