Чи протікає інтегратор те саме, що і фільтр низьких частот?

Рівняння, яке керує витікаючим інтегратором (як мінімум, згідно Вікіпедії)

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$.

Є інтегратором безперервного часу, таким чином, тим же, що і фільтр низьких частот із постійною часом $A$, до деякого масштабування вхідних даних?

Так званий протікаючий інтегратор - це фільтр першого порядку із зворотним зв'язком. Давайте знайдемо його функцію передачі, вважаючи, що вхід є$x(t)$ і вихід $y(t)$:

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

де $\mathcal{L}$позначає застосування перетворення Лапласа . Рухатися вперед:

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

(скориставшись властивістю трансформації Лапласа, що $\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$, припускаючи, що $y(0) = 0$).

Ця система, з функцією передачі $H(s)$, має один полюс у $s = -A$. Пам'ятайте, що його частотна характеристика на частоті$\omega$ можна знайти, випускаючи $s=j\omega$:

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

Щоб отримати грубе уявлення про цю відповідь, спочатку дозвольте $\omega \to 0$:

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

Таким чином, посилення постійного струму в системі обернено пропорційно коефіцієнту зворотного зв'язку $A$. Далі, нехай$w \to \infty$:

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

Тому частотна характеристика системи переходить до нуля для високих частот. З цього випливає приблизний прототип фільтра низьких частот. Щоб відповісти на ваше інше питання щодо його постійної часу, варто перевірити відповідь системи часової області. Її імпульсну відповідь можна знайти, обернено-перетворюючи функцію передачі:

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

де $u(t)$- крок функції Heaviside . Це дуже поширене перетворення, яке часто можна зустріти в таблицях перетворень Лапласа . Ця імпульсна відповідь є експоненціальною функцією розпаду , яка зазвичай записується у такому форматі:

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

де $\tau$визначається як постійна часу функції. Отже, у вашому прикладі постійною є система часу$\tau = \frac{1}{A}$.

Частотна характеристика однакова, так, але програма відрізняється:

• З низькочастотним фільтром ваш сигнал знаходиться в смузі пропускання. Частота відсічення фільтра встановлюється вище найвищої частоти, яку ви хочете зберегти у своєму сигналі.
• За допомогою протікаючого інтегратора ваш сигнал знаходиться в смузі зупинки. Частота відсічення фільтра встановлюється нижче найнижчої частоти у вашому сигналі.

Крім того, інтегратори завжди є першочерговими, тоді як низькочастотні фільтри можуть бути будь-якого порядку.