Який хороший приклад ергодичного процесу?

Я намагаюся знайти прості приклади ергодичного процесу. Який процес приходить вам на думку як хороша ілюстрація його властивостей?

Швидке дослідження ( Вікіпедія , інша відповідь ) в основному дає приклади неергодичних процесів. Також мені цікаво, які реальні явища світу піддаються моделюванню як ергодичний процес?

Припустимо, я даю вам ряд номерів, і я кажу вам, що вони були вибрані випадковим чином. І ви знаєте, я не намагаюся вас обдурити. Числа: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ .

Я пропоную тобі передбачити наступний, або, принаймні, максимально близький. Яке число ви обрали б?

[Подумайте]

[Обчислити]

• Надіюсь, що більшість читачів, можливо, виберуть число від $0$ до $6$ . Через обмежений проміжок часу.
• Можливо ціле число. Хто, ймовірно, пропонує $\pi$ (навіть думаючи про перші цифри)?
• Можливо, $2$ , $3$ або $4$ . Можливо, навіть $3$ .

В основному, ви припускаєте, що я надав номери з якимсь невідомим правилом. І, можливо, ви можете подумати (або зробити гіпотезу), що ряд заданих чисел, якщо досить довгий, може забезпечити вам добре розуміння правил, які я маю на увазі. Якщо ви так зробите, ви припускаєте, що мій розумовий процес є ергодичним:

процес, при якому кожна послідовність або зразковий зразок однаково репрезентативні для цілого (як і стосовно статистичного параметра) ( Merriam-Webster )

Тут немає жодного способу бути впевненим, що моя серія слідує за ергодичним процесом. 3432 - це PIN-код моєї картки, 3 - помилка (я мав на увазі 6, але я незграбний), 4, 3, 1 і 5 - це перші цифри $\pi$ які я використовую досить часто. Наступним моїм "числом" було б С (у шістнадцятковій кількості). Я не вважаю, що цей процес є ергодичним. Кожне число виходить з різних законів. Але чесно кажучи, я не знаю. Можливо, я підпорядковуюсь силам вищого порядку, які керують мені за правилами ергодичності.

Отже, ергодичність - це гіпотеза про своєрідну "простоту" в правилах процесу. Як і стаціонарність, або рідкість. Киньте звичайну штамп з $6$ гранями Киньте звичайну монету. Якщо нічого зовні не намагається вплинути на результат (невидима істота, яка ловить матрицю і показує якесь обличчя її вибору), ви, ймовірно, виробите ергодичний процес.

Замість того, щоб ви могли кинути нескінченну кількість монет, безмежною кількістю великих пальців, точно в ту ж секунду, ви кидаєте одну монету щосекунди, і вважаєте, що кінцевий результат приблизно однаковий.

Броунівський рух має і ергодичні властивості.

З статті вікіпедії:

Стохастичний процес, як кажуть, є ергодичним, якщо його статистичні властивості можна вивести з єдиного, досить тривалого, випадкового вибірки процесу.

Іншими словами: статистичні властивості часового ансамблю є такими ж, як статистичні властивості ансамблю реалізації.

Можливо, нам потрібно зробити крок назад і поговорити про те, що таке стохастичний процес, щоб почати.

Уявіть, що це буремний день. Ви сидите вдома і дивитесь у вікно. Інколи ви бачите, як листя віяло біля вашого вікна. Ви отримуєте свої маркери на дошці та малюєте систему координат на своєму вікні, тож тепер ви можете спостерігати за кількома контурами листя та порівнювати їх:

Отже, кожен шлях - це одна реалізація стохастичного процесу "прокладки в штормовий день".

$y$$x$

$x$$y$$x$

Зазвичай важче зрозуміти неергодичний випадок (саме тому люди частіше шукають приклади таких процесів).

$X(t)$$t$$X$$0$$1$$\frac{1}{2}$

$N$$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$$m\to \frac{1}{2}$

Щодо другої частини вашого запитання, ми можемо використовувати ергодичність для спрощення проблем. Наприклад, між середнім рівнем ансамблю та середнім часом може бути важко або навіть неможливо вирахувати (або змоделювати). Але оскільки ми знаємо (або припускаємо), що процес є ергодичним (тобто вони однакові), ми просто обчислюємо той, який простіший. Як приклад, я можу представити методи Монте-Карло (наприклад, ті, які ми використовуємо для моделювання продуктивності помилок у системі зв'язку), де ми моделюємо ланцюг передачі-прийому і повторюємо її декілька разів і середньостатистичні результати, щоб дізнатися про властивості ансамблю (як імовірність помилки тощо).