Чи є альтернативна характеристика розрідженості сигналу при стисненому зондуванні

Початкове припущення для стисненого зондування (CS) полягає в тому, що базовий сигнал є рідким за деякою основою, наприклад, існує максимум ненульових коефіцієнтів Фур'є для розрідженого сигналу. І досвід реального життя показує, що розглянуті сигнали часто рідкі.$s$

Питання - заданий сигнал, перш ніж надсилати одержувач стискаються бітів на приймач і дозволяти їй відновитись якнайкраще, чи є спосіб, щоб сказати, у чому полягає його розрідженість, і якщо він є відповідним кандидатом для стиснення відчуття в першу чергу?

Як альтернатива, чи є додаткова / альтернативна характеристика обмеженості, яка може швидко сказати нам, чи буде CS корисним чи ні. Можна банально побачити, що відправник міг зробити саме те, що буде робити одержувач з деяким випадковим чином обраним набором вимірювань, а потім спробувати з'ясувати відповідь. Але чи є альтернативний спосіб вирішити це питання?

Я підозрюю, що щось подібне, напевно, було вивчено, але я не зміг знайти хорошого вказівника.

Примітка. Це питання я опублікував у Mathoverflow кілька тижнів тому, але відповіді не отримав. Звідси перехресний пост.

Дійсно, існують способи, за допомогою яких на пристрої збору даних можна оцінити обмеженість або інформаційний вміст. Деталі, практичність та фактична корисність цього питання є дискусійними та сильно залежать від контексту, в якому він застосовується. У разі зображень можна визначити ділянки зображення, які є більш-менш стислими за попередньо визначеною основою. Наприклад, див. "Компресивне відбір проб компресивного зображення для сигналів зображення" Ю. та ін . У цьому випадку додаткові вимоги щодо складності, що пред'являються до пристрою придбання, забезпечують граничні вигоди.

Що стосується Ваших запитань щодо визначення корисності стисненого зондування для даного сигналу на момент отримання: Якщо відповідний сигнал дотримується будь-якої моделі, апріорно відомої , можливе стиснене зондування. Точне відновлення залежить просто від співвідношення між кількістю проведених вимірювань та ступенем, на який вибірковий сигнал дотримується вашої моделі. Якщо це погана модель, ви не обійдете фазовий перехід. Якщо це гарна модель, то ви зможете розрахувати точну реконструкцію вихідного сигналу. Крім того, вимірювання стисненого зондування загалом підтверджено у майбутньому. Якщо у вас є задана кількість вимірювань для сигналу, недостатня за кількістю точного відновлення вихідного сигналу, використовуючи модель, яку ви маєте сьогодні, тоді завтра можна розробити кращу модель, для якої ці вимірювання є достатніми для точного відновлення.

Додаткова примітка (редагувати): підхід до придбання, згаданий у вашому запитанні, звучав досить близько до адаптивного стисненого зондування, тому я подумав, що наступне може зацікавити читачів цього питання. Останні результати Arias-Castro, Candes і Davenport показали, що стратегії адаптивного вимірювання теоретично не можуть запропонувати значних вигод від неадаптивного (тобто сліпого) стисненого зондування. Я посилаю читачів на їхню працю "Про основні межі адаптивного зондування", яка має з’явитися незабаром у ITIT.

Одним із практичних підходів було б перевірити ваш сигнал, що цікавить, підбіркою словників, щоб з’ясувати, чи він у будь-якому з них рідкий. Насправді вам не потрібно робити те, що робив би приймач, тобто стискати та реконструювати сигнал, щоб побачити, чи він у конкретному словнику розріджений. Ви можете застосувати до нього лінійне перетворення і перевірити, чи є перетворений вектор розрідженим. Якщо це так, то зворотне перетворення - це ваш словник. Під малим я маю на увазі підрахунок кількості ненульових або несуттєвих коефіцієнтів у векторі. Наприклад, обчисліть DFT вашого сигналу. Якщо представлення частотної області виявляється рідким (достатньо), ви можете використовувати зворотний DFT як словник. Якщо перетворення не є зворотним, наприклад, широкою матрицею, воно не настільки прямолінійне, але воно все одно може бути виконано з кадрами.

Щодо альтернатив пошаровості, ендоліт згадує про деякі спроби узагальнити "простоту" на більше, ніж просто поодинокі. Крім того, існують також:

1. Низький ранг: використовується при заповненні матриці, що є своєрідним узагальненням матриць стисненого зондування. Дивіться, наприклад, точне заповнення матриці за допомогою опуклої оптимізації та нових робіт від Candès et al.
2. " k -простість": вектори не зовсім розріджені; більшість їх записів або a, або b, і декілька ( k ) з них знаходяться між ними. Це, наприклад, описано в Donoho & Tanner, "Точні теоретичні підкреслення" (приклад 3).

$\|x\|_1^2/\|x\|_2^2$