Чому цей візерунок Муара виглядає таким чином?

Я робив кілька gif перетворень Мобіуса в Матлабі, і почали з’являтися деякі дивні візерунки. Я не впевнений, чи потрібні більш глибокі знання про тип файлів / алгоритму, щоб зрозуміти це явище, але я подумав, що, можливо, може бути чисто математичне пояснення. Зображення отримують, забарвлюючи складну площину, як шахматну дошку, а потім перевертаючи її, беручи зворотну частину складного сполучника. Ось математичний psuedocode для зображення із заданим збільшенням : $k$

\begin{aligned} checkerboard : C \to {black, white} \\ checkerboard (z) := {\begin{cases} black & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 0 \mod 2 \\ white & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 1 \mod 2 \end{cases} \\ image = {z \in C : | ℜ (z) |, | ℑ (z) | \leq 1} \\ color : image \to {black, white} \\ color (z) := checkerboard (k / \bar{z}) \end{aligned}

$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$

А ось малюнки для $k=1$ , $k=50$ і $k=200$ . Дозвіл кожного малюнка $1000\times 1000$ . У мене немає передумови в обробці сигналів, але я б хотів дізнатися щось!

Редагувати:

Більш конкретно, чому шаблон Муаре "синхронізується" з роздільною здатністю зображення в певні моменти?
Чи можна передбачити шаблон Муаре?

image-processing aliasing pattern

— БХ
джерело

Те, що ви бачите, - це згладжування. Ви намагаєтеся зобразити зображення з компонентами більш високої частоти, ніж дозволяє ваш монітор, тому ви отримуєте псевдоніми. en.wikipedia.org/wiki/Moiré_pattern

— MBaz

MBaz, я шукаю математичне пояснення того, чому модель згладжування виглядає так, як це робиться!

— BH

Так, шаблон Муаре можна передбачити Ви знайомі з перетворенням Фур'є?

— Маркус Мюллер

Недостатньо, щоб використовувати його в цій ситуації!

— BH

Доводиться лягати спати зараз, сподіваємось, вам допоможе приблизно математичне пояснення нижче - виходячи з припущення, що хтось із кардинальністю незліченного нескінченного набору може бути більш-менш зацікавлений у досить абстрактному погляді, ніж у функціонально-аналітичному поясненні.

— Маркус Мюллер

Вам потрібно буде зрозуміти теорему вибірки . Коротше кажучи, кожен сигнал має те, що ми називаємо спектром ¹, це перетворення Фур'є сигналу, оскільки він надходить у часову область (якщо це сигнал часу), або просторовий домен (якщо це зображення. Оскільки перетворення Фур'є є бієктивним, сигнал і його перетворення еквівалентні; насправді часто можна інтерпретувати перетворення Фур'є як зміну бази. Ми називаємо це "перетворенням у частотну область", оскільки значення перетворення Фур'є для низьких ординат описують речі, що змінюються повільно в початковому (часовому або просторовому) доменному сигналі, тоді як високочастотний вміст представлений значеннями перетворення Фур'є з високим положенням.

Як правило, такі спектри можуть мати певну підтримку ; опора - мінімальний інтервал, поза яким спектр дорівнює 0.

Якщо ви зараз використовуєте систему спостереження, здатність до відтворення частот обмежена інтервалом, меншим, ніж згадана підтримка (який, до речі, нескінченний і завжди нескінченний для сигналів, що мають скінченне розширення у часі чи просторі), ви не може представити оригінальний сигнал із цією системою.

У цьому випадку ваше зображення має певну роздільну здатність - це, врешті-решт, той факт, що ви оцінюєте значення своєї функції в дискретних точках у фіксованому, нескінченному малому інтервалі. Зворотним цим інтервалом є (просторова) швидкість вибірки.

Таким чином, ваше зображення не може представляти вихідний сигнал - просто математично неможливо, що відображення базової функції на пікселі справді еквівалентно вихідній функції, оскільки ми знаємо, що в цьому випадку загальний діапазон частот, представлений вашою оцінкою в дискретних точках ("вибірки") - це половина швидкості вибірки, і, отже, щось має піти не так з частиною спектру вашого сигналу, що перевищує половину частоти вибірки.

Що відбувається, насправді, що спектр отримує псевдоніми - кожен спектральний компонент на частоті "зміщується" вниз , так що . Насправді це призводить до "структури", де вона (начебто) не повинна бути такою. $f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$ $n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$ $|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

Візьміть "великі" структури зі своєї картини, яку я пофарбував у зелений колір:

Звичайно, схоже, що тут є низькочастотний контент - але насправді це лише вміст високої частоти на частотах який став псевдонім низьким частотам, оскільки він був близький до ціле число, кратне швидкості вибірки. $>\frac{f_\text{sample}}2$

Отже, так , ви можете передбачити артефакти, які трапляються з двовимірним сигналом при вибірці, порівнявши його перетворення Фур'є з пропускною здатністю, запропонованою швидкістю вибірки.

Це може відрізнятися від спектру, який використовується у лінійній алгебрі для опису власних властивостей операторів.

— Маркус Мюллер
джерело

Неато !! Дуже дякую за цю детальну відповідь. Здається, поведінка кожного із зелених шматочків дещо інша, і я здогадуюсь, це залежить від значення . Я повинен прочитати про всю цю проблему перетворення Фур'є !!

n

$n$

— BH