Шум квантування для узгодженого відбору проб - фазовий шум?

Оновлення: див. Додані думки внизу цієї публікації.

---

За загальних умов вибірки, не обмежених описаним нижче (сигнал, не пов'язаний з тактовою частотою вибірки), шум квантування часто оцінюється як рівномірне розподіл на один рівень квантування. Коли два АЦП поєднуються з I та Q шляхами для створення вибірки складного сигналу, квантовий шум має як амплітудні, так і фазові шумові компоненти, як імітовано нижче. Як показано, цей шум має трикутне розподіл, коли компоненти I і Q сприяють однаково амплітуді та фазі, наприклад, коли сигнал знаходиться під кутом 45 °, і рівномірним, коли сигнал знаходиться на осі. Це очікується, оскільки шум квантування для кожного I та Q є некорельованим, тому розподіли будуть згортатися, коли вони обидва сприяють вихідному результату.

Питання, що задається, чи змінюється такий розподіл фазового шуму для випадків узгодженої вибірки (припустимо, що у самих тактових частотах відбору є фазовий шум, який набагато перевершує, так що не є фактором)? Зокрема, я намагаюся зрозуміти, чи когерентна вибірка значно зменшить фазовий шум, пов'язаний з квантуванням. Це було б безпосередньо застосовано для генерації тактового сигналу, коли когерентність легко підтримуватиметься.

Розглянемо як реальні сигнали (один АЦП), так і складні сигнали (два АЦП; один для I і один для Q разом, що описують один складний зразок). Що стосується реальних сигналів, то вхід являє собою повномасштабну синусоїду, а фазовий член виводиться з аналітичного сигналу; тремтіння, пов'язане зі зміною нульового перетину синусоїдального тону, буде прикладом результуючого фазового шуму для реального сигналу. У випадку складних сигналів вхід - це повномасштабна , де реальні та уявні компоненти будуть синусоїдами в повному масштабі.$Ae^{j \omega t}$

Це пов'язано з цим питанням, коли когерентний вибірки добре описаний, але фазовий шум конкретно не згадувався:

Узгоджена вибірка та розподіл шуму квантування

Для більш чіткого опису індукованих компонентів шуму АМ та ПМ я додав наступну графіку нижче для випадку складної квантування, що показує складний вектор у безперервному часі в заданий момент вибірки, і пов'язаний квантований зразок у вигляді червоної точки, вважаючи лінійною рівномірний розподіл рівнів квантування реальної та уявної частини сигналу.

Збільшення масштабу місця, де відбувається квантування на наведеному вище зображенні для ілюстрації індукованої амплітудної помилки та фазової помилки:

Таким чином дається довільний сигнал

$$\begin{align} s(t) &= a(t) e^{j\omega t} \\ &= a(t) \cos(\omega t) + j a(t) \sin(\omega t) \\ &= i(t) + j q(t) \\ \end{align}$$

Квантований сигнал є найближчою точкою відстані, заданою

$$s_k = i_k+ j q_k$$

Де і представляють квантовані I і Q рівні кожен відображаються в відповідно до:$i_k$$q_k$

$$\mathcal{Q}\{x\} = \Delta \Bigl \lfloor \frac{x}{\Delta}+\tfrac{1}{2} \Bigr \rfloor$$

Де являє собою функцію підлоги , а представляє дискретний рівень квантування.$\lfloor (\cdot) \rfloor$$\Delta$

$$\begin{align} i_k = \mathcal{Q}\{i(t_k)\} \\ q_k = \mathcal{Q}\{q(t_k)\} \\ \end{align}$$

Похибка амплітуди -де - час, у який вибір вибірки .$|s(t_k)|-|s_k|$$t_k$$s(t)$$s_k$

Фазова помилка - де * являє собою складний сполучник.$\arg\{s(t_k)\} - \arg\{s_k\} = \arg\{s(t_k) \cdot (s_k)^*\}$

Питання до цієї посади полягає в тому, яка природа фазового компонента, коли тактова частота вибірки є співмірною (ціле число, кратне) вхідному сигналу?

Щоб допомогти, ось декілька модельованих розподілів амплітудної та фазової помилок для складного випадку квантування з квантуванням 6 біт на I та Q. Для цих симуляцій передбачається, що фактичний сигнал «істина» однаково вірогідний у будь-якому місці квантування сектор, визначений як сітка, показана на схемі вище. Зауважте, коли сигнал проходить уздовж одного з квадрантів (або всіх I, або всіх Q), розподіл є рівномірним, як очікувалося, в одному випадку АЦП з реальними сигналами. Але коли сигнал знаходиться під кутом 45 °, розподіл трикутний. Це має сенс, оскільки саме в цих випадках сигнал має рівний внесок I і Q, кожен з яких є некорельованими рівномірними розподілами; тому два розподіли перетворюються на трикутні.

Після обертання вектора сигналу на 0 ° гістограми величини та кута набагато рівномірніші, як очікувалося:

---

Оновлення: Оскільки ми все ще потребуємо відповіді на конкретне питання (відповідь Оллі нижче запропонувала хороше роз'яснення характеристик шуму, що призвело до мого оновлення трикутної та рівномірної щільності шуму, але характеристик фазового шуму під умови узгодженого відбору проб все ще не вдається), я пропоную наступні думки, які можуть викликати реальну відповідь або подальший прогрес (зауважте, це думки, які багато, можливо, неправильно керуються, але в інтересах отримати відповідь, якої у мене поки немає):

Зауважте, що в когерентних умовах вибірки швидкість вибірки є цілим числом, кратним вхідній частоті (а також блокується фаза). Це означає, що завжди буде ціле число зразків, коли ми обертаємося один раз через складну площину для складного сигналу та вибірки, або ціле число зразків одного циклу синусоїди для реального сигналу та вибірки (одиночний АЦП).

І як описано, ми припускаємо випадок, коли сам відбір пробних годин набагато перевершує, тому не вважається внеском. Тому зразки висаджуватимуться в точно однаковому місці кожного разу.

Враховуючи випадок реального сигналу, якби ми визначалися лише нульовими перетинами при визначенні фазового шуму, результатом узгодженої вибірки буде лише фіксований, але послідовний зсув затримки (хоча піднімаючі та спадаючі кромки можуть мати різні затримки коли когерентність - непарне ціле число). Зрозуміло, що у складному випадку вибірки ми маємо справу з фазовим шумом на кожному зразку, і я підозрюю, що це було б однаково і для реального випадку (моє підозра є затримка вибірки в будь-який момент з "правди" була б компонент фазового шуму, але потім я заплутаюся, якщо я подвійно рахую, що також є різницею амплітуди ...) Якщо я встигну, я змоделюю це, оскільки всі спотворення з’являться на цілих гармоніках вхідного сигналу з урахуванням повторюваної схеми над одним цикл, і випробування фази проти амплітуди було б відносною фазою гармонік порівняно з фундаментальною - що було б цікаво побачити за допомогою моделювання чи обчислення, якщо ці гармоніки (які для реального сигналу мають усі складні суміжні аналоги) мають бути у квадратурі з основним або у фазі, і, таким чином, показано, що всі фазові шуми, всі амплітудні шуми або складові обох. (Різниця між парною кількістю зразків і непарною можливою можливістю цього).

У випадку складної графіки Оллі, яка була зроблена із пропорційною кількістю зразків, може додати подальше розуміння, якщо він показав місце вибірки на "істину", пов'язане з кожним показаним квантованим зразком. Знову я бачу можливість цікавої різниці, якщо є непарна або парна кількість зразків (його графік був парним, і я спостерігаю симетрію, яка дає результат, але не бачу далі від того, що це може зробити для фази проти амплітудного шуму). Однак мені здається зрозумілим, що компоненти шуму і в реальних, і в складних випадках будуть існувати лише в цілих гармоніках основної частоти, коли вибірки будуть узгодженими. Тож, хоча фазовий шум все ще може існувати, як я підозрюю, це відбувається, його розташування в цілих гармоніках набагато сприятливіше для усунення шляхом подальшої фільтрації.

(Примітка. Це стосується генерації опорних тактових сигналів високої спектральної чистоти.)

У мене є сумніви щодо (Редагувати: це пізніше було видалено з питання):

Розподіл цих компонентів шуму AM і PM можна вважати рівномірними до тих пір, поки вхідний сигнал не буде пов'язаний з тактовою частотою вибірки.

Розглянемо сигнал: ім'я та його квантування:

$$\operatorname{signal}(t) = \cos(t) + j\sin(t)$$ $$\operatorname{quantized\_signal}(t) = \frac{\operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)}{N} + j\times\frac{\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big)}{N}$$

для кроку квантування обох компонентів I і Q ( у вас на рисунку ).$1/N$$N = 5$

Рисунок 1. Слід сигналу (синя лінія) та його квантування (чорні крапки) та перенесення між ними, щоб побачити, в якому напрямку різні частини сигналу квантовані, для . "Морфінг" - це просто набір додаткових параметричних графіків у$N=5$$a\operatorname{signal}(t) + (1-a)\operatorname{quantized\_signal}(t)$$a = \left[\frac{1}{5}, \frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right].$

Похибка фази внаслідок помилки квантування:

$$\operatorname{phase\_error}(t) = \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big)\Big)\\- \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{signal}(t)\big)\Big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{atan}\big(N\sin(t), N\cos(t)\big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{mod}(t-\pi, 2\pi) + \pi$$

Віднімання обгорнутих фаз ризиковано, але в цьому випадку воно працює.

Малюнок 2. для .$\operatorname{phase\_error}(t)$$N = 5$

Це лінійна функція. Усі відрізки рядків перетинають нульовий рівень, але закінчуються на різних інших рівнях. Це означає, розглядаючи як єдину випадкову змінну, що у функції щільності ймовірності значення біля нуля завищені. Отже не може мати рівномірний розподіл.$t$$\operatorname{phase\_error}(t),$$\operatorname{phase\_error}(t)$

Розглядаючи власне питання, дивлячись на фіг. 1, з достатньо високою та такою частотою складної синусоїди, що протягом кожного інтервалу вибірки сигнал обертається через кілька меж квантування, помилки квантування у зразках фактично є фіксованою послідовністю псевдослучайності числа, що походять від вигадок теорії чисел. Похибки залежать від частоти і від а також від початкової фази, якщо частота є підмножиною кратного частоти вибірки, в цьому випадку помилка квантування - це повторювана послідовність, яка не містить усіх можливих значень помилок квантування. У межі великого$N$$N,$$N$розподіли помилок I та Q є рівномірними, а помилки фази та величини - псевдовипадкові числа, що надходять від розподілів, які залежать від фази сигналу. Залежність від фази існує, оскільки сітка прямокутної квантування має орієнтацію.

У межі великого похибка фази та похибка величини є перпендикулярними компонентами складної помилки. Похибка величини може бути виражена пропорційно до нескінченно малої стадії квантування, а похибка фази може бути виражена пропорційно етапу квантування. На фазі сигналу похибка величини знаходиться у кутовому напрямку а похибка фази - у кутовому напрямку . Складна похибка квантування розподіляється рівномірно на етапі квантування квадратиком, орієнтованим по осях I і Q, з кутами в координатах, виражених пропорційно кроку квантування:$N,$$\arcsin$$\alpha$$\alpha$$\alpha + \pi/2$

$$\big[(1/2, 1/2),\quad(-1/2, 1/2),\quad(-1/2, -1/2),\quad(1/2, -1/2)\big]$$

Обертання цих координат або рівнозначне їх проектування на пропорційну похибку фази та осі помилки пропорційної величини дає як однакову функцію лінійної щільності лінійної густини ймовірності плоскої вершини з вузлами:

$$\left[\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad \frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2}\right] = \left[\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad \sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4)\right]$$

Малюнок 3. Вузли спільної лінійної функції щільності плоскості розповсюдженості (PDF) пропорційної похибки фази та похибки пропорційної величини з урахуванням кута сигналу . У PDF прямокутний. Деякі вузли зливаються також при даючи трикутний PDF з найгіршим випадком великої асимптотичної оцінки 1) максимальна похибка абсолютної величини етапи квантування та 2) максимальна абсолютна похибка фази рази етапу квантування.$\alpha$$\alpha \in \{-\pi, -\pi/2, 0, \pi/2, \pi\}$$\alpha \in \{-3\pi/4, -\pi/4, \pi/4, 3\pi/4\}$$N$$\sqrt{2}/2$$\sqrt{2}/2$$\arcsin$

На проміжних етапах PDF виглядає так:

Малюнок 4. Спільний PDF у форматі$\alpha = \pi/8.$

Як запропонував Ден, PDF - це також згортання прямокутних PDF s помилок I та Q, що проектуються на осі величини та похибки фази. Ширина одного із проектованих PDF-файлів дорівнює, а ширина іншого -. Їх комбінована дисперсія - рівномірна над .$|\cos(\alpha)|$$|\sin(\alpha)|$$\cos^2(\alpha)/12 + \sin^2(\alpha)/12 = 1/12,$$\alpha$

Можуть бути деякі "псевдолукі" комбінації початкової фази та раціональне числове відношення частоти складної синусоїди та частоти вибірки, які дають лише невелику помилку для всіх зразків у повторюваній послідовності. Через симетричність помилок, показаних на рис. 1, в максимальному абсолютному розумінні помилок ті частоти мають перевагу, для якої кількість очок, відвіданих у колі, кратна 2, тому що удача (низька помилка) потрібна в лише половина балів. Помилка в решті точок - це дублікати того, що вони є на перших, із знаками перевертання. Принаймні кратні 6, 4 та 12 мають ще більшу перевагу. Я не впевнений, яке саме тут правило, тому що це, здається, не все в тому, щоб бути кратним чогось. Це ' s дещо про симетрії сітки в поєднанні з арифметикою модуля. Тим не менш, псевдовипадкові помилки є детермінованими, тому вичерпний пошук виявляє найкращі домовленості. Знайти найкращі домовленості в сенсі абсолютної помилки кореневого середнього квадрата (RMS) найпростіше:

Малюнок 5. Вгору) Найменші можливі похибки абсолютної квантування RMS у складному осциляторі IQ для різних глибин біта генератора, використовуючи квадратну сітку квантування . Вихідний код для вичерпного пошуку псевдолуцьких домовленостей знаходиться в кінці відповіді. Внизу) Фрагмент, що показує для порівняння (світло - синього) в асимптотической оцінка похибки квантування абсолютного RMS, для де є кількість біт генератора.$N\to\infty$$\sqrt{1/6}/N,$$N=2^k-1,$$k+1$

Амплітуда найвизначнішої частоти помилок ніколи не перевищує абсолютної похибки RMS. Для 8-бітового генератора особливо вдалим вибором є ці точок, розташованих приблизно на одиничному колі:$12$

$$\frac{\{(0, \pm112),\quad (\pm112, 0),\quad (\pm97, \pm56),\quad (\pm56, \pm97)\}}{112.00297611139371}$$

Дискретний складний синусоїд, який проходить через ці точки на складній площині у збільшенні кутового порядку, має лише п’яте гармонічне спотворення, і це на дБ порівняно з основним, що підтверджено вихідним кодом Октави в кінці відповіді.$-91.5$

Щоб отримати низьку абсолютну похибку квантування RMS, частоти не повинні проходити через точки в порядку, як у приблизних фазах для частоти на більше частоти вибірки. Наприклад, частота разів частота вибірки буде проходити через ті самі точки, але в іншому порядку: . Я думаю, що це працює так, як це відбувається, тому що 5 і 12 є копрієм .$[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]\cdot 2\pi/12$$1/12$$5/12$$[0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7]\cdot 2\pi/12$

Щодо можливих ідеальних домовленостей, помилка може бути рівно нульовою у всіх точках, якщо частота синусоїди становить одну четверту частоти вибірки (приріст фази на зразок). На квадратній сітці інших подібних досконалих композицій немає . На шестикутній сітці або на неквадратичній прямокутній сітці з однією з осей I або Q, розтягнутої на коефіцієнт (завдяки чому вона еквівалентна кожному другому ряду на сітці соти), приріст фази на зразок спрацював би ідеально. Таке масштабування можна зробити в аналоговій області. Це збільшує кількість осей симетрії сітки, що призводить до переважно сприятливих змін у псевдолуцькому розташуванні:$\pi/2$$\sqrt{3}$$\pi/3$

Малюнок 6. Найменші можливі похибки абсолютної квантування RMS в складному осциляторі IQ для різних глибин біта генератора, використовуючи прямокутну сітку квантування з однією з осей, масштабовану на$\sqrt{3}$ .

Зокрема, для 8-бітового осцилятора з 30 балами на колі найменша можлива абсолютна помилка RMS становить -51,3 дБ на квадратній сітці та -62,5 дБ на неквадратичній прямокутній сітці, де найменша абсолютна помилка RMS Псевдолукі послідовність має помилку:

Рисунок 7. Значення похибки на площині IQ 8-бітовою псевдооліповою послідовністю довжиною 30 використовують переваги осей симетрії, знайдених у сітці квантування, розтягнутої на коефіцієнт по горизонталі. Очки походять від лише трьох псевдолуких складних чисел, розгорнутих навколо осей симетрії.$\sqrt{3}$

Я не маю практичного досвіду роботи з тактовими сигналами IQ, тому я не впевнений, які речі мають значення. З генерацією тактового сигналу, використовуючи цифро-аналоговий перетворювач (ЦАП), я б підозрював, що, якщо не будуть використані хороші псевдолуки, краще мати нижній рівень білого шуму, ніж мати гармонійний спектр шуму з більш високим шипи, що виникають від повторюваної послідовності помилки квантування (див. Когерентний вибірки та розподіл шуму квантування ). Ці спектральні шипи, як і білий шум, можуть просочуватися через паразитарну ємність і мати небажані ефекти в інших частинах системи або впливати на електромагнітну сумісність (ЕМС) пристрою. Як аналогія, технологія розширення спектру покращує ЕМС шляхом перетворення спектральних шипів на нижню пікову шуму.

Наступний вихідний код для вичерпного пошуку псевдолуких домовленостей у C ++ випливає. Ви можете запустити його протягом ночі, щоб знайти найкращі домовленості принаймні до 16-бітових осциляторів для .$1 \le M \le 100$

// Compile with g++ -O3 -std-c++11

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex>
#include <float.h>
#include <algorithm>

// N = circle size in quantization steps
const int maxN = 127;
// M = number of points on the circle
const int minM = 1; 
const int maxM = 100;
const int stepM = 1;
// k = floor(log2(N))
const int mink = 2;
const double IScale = 1; // 1 or larger please, sqrt(3) is very lucky, and 1 means a square grid

typedef std::complex<double> cplx;

struct Arrangement {
  int initialI;
  int initialQ;
  cplx fundamentalIQ;
  double fundamentalIQNorm;
  double cost;
};

int main() {
  cplx rotation[maxM+1];
  cplx fourierCoef[maxM+1];
  double invSlope[maxM+1];
  Arrangement bestArrangements[(maxM+1)*(int)(floor(log2(maxN))+1)];
  const double maxk(floor(log2(maxN)));
  const double IScaleInv = 1/IScale;
  for (int M = minM; M <= maxM; M++) {
    rotation[M] = cplx(cos(2*M_PI/M), sin(2*M_PI/M));
    invSlope[M] = tan(M_PI/2 - 2*M_PI/M)*IScaleInv;
    for (int k = 0; k <= maxk; k++) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost = DBL_MAX;
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm = 1;
    }
  }
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int m = 0; m < M; m++) {
      fourierCoef[m] = cplx(cos(2*M_PI*m/M), -sin(2*M_PI*m/M))/(double)M;
    }
    for (int initialQ = 0; initialQ <= maxN; initialQ++) {
      int initialI(IScale == 1? initialQ : 0);
      initialI = std::max(initialI, (int)floor(invSlope[M]*initialQ));
      if (initialQ == 0 && initialI == 0) {
    initialI = 1;
      }
      for (; initialI*(int_least64_t)initialI  <= (2*maxN + 1)*(int_least64_t)(2*maxN + 1)/4 - initialQ*(int_least64_t)initialQ; initialI++) {
    cplx IQ(initialI*IScale, initialQ);
    cplx roundedIQ(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
        cplx fundamentalIQ(roundedIQ*fourierCoef[0].real());
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
          fundamentalIQ += roundedIQ*fourierCoef[m];
    }
    IQ = fundamentalIQ;
    roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
    double cost = norm(roundedIQ-IQ);
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
      cost += norm(roundedIQ-IQ);
    }
    double fundamentalIQNorm = norm(fundamentalIQ);
    int k = std::max(floor(log2(initialI)), floor(log2(initialQ)));
    //  printf("(%d,%d)",k,initialI);
    if (cost*bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm < bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost*fundamentalIQNorm) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k] = {initialI, initialQ, fundamentalIQ, fundamentalIQNorm, cost};
    }
      }
    }
  }
  printf("N");
  for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
    printf(",%d-bit", k+2);
  }
  printf("\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    printf("%d", M);
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf(",%.13f", sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
    printf("\n");
  }

  printf("bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf("%d,%d,%.13f,%.13f,%.13f,%d,%d,%.13f\n", k+2, M, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm), real(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), imag(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialI, bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialQ, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
  }
}

Вихід вибірки, що описує перший приклад послідовності, знайдений за допомогою IScale = 1:

bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms
8,12,112.0029761113937,112.0029761113937,0.0000000000000,112,0,0.0000265717171

Вибір вибірки, що описує другий приклад послідовності, знайдений за допомогою IScale = sqrt(3):

8,30,200.2597744568315,199.1627304588310,20.9328464782995,115,21,0.0007529202390

Код Octave для тестування першої прикладу послідовності:

x = [112+0i, 97+56i, 56+97i, 0+112i, -56+97i, -97+56i, -112+0i, -97-56i, -56-97i, 0-112i, 56-97i, 97-56i];
abs(fft(x))
20*log10(abs(fft(x)(6)))-20*log10(abs(fft(x)(2)))

Код Octave для тестування другої приклади послідовності:

x = exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i);
y = real(x)/sqrt(3)+imag(x)*i;
z = (round(real(y))*sqrt(3)+round(imag(y))*i)/200.2597744568315;
#Error on IQ plane
star = z-exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i)/200.2597744568315;
scatter(real(star), imag(star));
#Magnitude of discrete Fourier transform
scatter((0:length(z)-1)*2*pi/30, 20*log10(abs(fft(z))/abs(fft(z)(2)))); ylim([-120, 0]);
#RMS error:
10*log10((sum(fft(z).*conj(fft(z)))-(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))/(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))