Яке фізичне значення негативних частот?

83

Це було однією з дірок у моєму блоці сиру чеддер з розумінням DSP, тож яка фізична інтерпретація наявності негативної частоти?

Якщо у вас фізична тональність на якійсь частоті і це DFT'd, ви отримуєте результат як на позитивній, так і на негативній частотах - чому і як це відбувається? Що це означає?

Редагувати: 18 жовтня 2011 р. Я дав власну відповідь, але розширив питання, щоб включити коріння того, чому негативні частоти ОБОВ'ЯЗКОВО існують.

frequency

— Космічний
джерело

1

electronics.stackexchange.com/questions/15539/…

— endolith

Спасибі ендоліту, чи можна було б перейти цю сторінку до них? Я дав відповідь на власне запитання і хотів би поділитися ним із цією групою. Я, здається, не маю доступу до цього району ...

— Спейсі,

Прочитавши всі фізичні значення негативних частот, я заплутався більше. Я хімік. Я маю справу з молекулами. Негативні частоти вказують на нестабільність у молекулах або, іншими словами, точки сідла на поверхні потенційної енергії. Стабільна молекула не повинна мати уявних частот, перехідний стан повинен мати одну (седлову точку першого порядку). Чому б стабільна молекула не мала негативних частот (уявних частот), адже вона є доповненням до реальної частоти.

— Прабін Рай

2

@PrabinRai негативні частоти і уявні частоти дуже різні. Уявна частота перетворює коливальний, обмежений складний експоненціальний у експоненціально зростаючий (або зменшується) звичайний показник. Негативна частота, як свідчать відповіді, наведені нижче, стосується "рукотворності" коливань. Вони все ще є обмеженими функціями, тому я думаю, що це все одно було б "стабільним".

— TC Proctor

106

Негативна частота не має особливого сенсу для синусоїд, але перетворення Фур'є не розбиває сигнал на синусоїди, він розбиває його на складні експоненти (також звані "складними синусоїдами" або " цизоїдами "):

F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \color{Red}{e^{- j\omega t}}\,dt$

Це насправді спіралі, що обертаються навколо у складній площині:

складна експоненціальна показ часу та реальних та уявних осей

( Джерело: Річард Ліонс )

Спіралі можуть бути ліворукими або праворукими (обертаються за годинниковою або проти годинникової стрілки), звідки походить концепція негативної частоти. Ви також можете вважати це як фазовий кут, що йде вперед або назад у часі.

У випадку реальних сигналів завжди є два складних експоненціала з рівною амплітудою, що обертаються в протилежних напрямках, так що їх реальні частини поєднуються, а уявні частини скасовуються, залишаючи в результаті лише справжній синусоїд. Ось чому спектр синусоїди завжди має 2 шипи, один позитивну частоту і один негативний. Залежно від фази двох спіралей вони могли скасовуватися, залишаючи чисто справжню синусоїду, або справжню косинусну хвилю, або суто уявну синусоїду тощо.

Негативні і позитивні частотні складові є як необхідно , щоб зробити реальний сигнал, але якщо ви вже знаєте , що це реальний сигнал, з іншого боку спектра не дає ніякої додаткової інформації, тому вона часто вручну махав і ігноруються. Для загального випадку складних сигналів потрібно знати обидві сторони частотного спектру.

— ендоліт
джерело

6

Мені подобається цей опис; Я думаю, діаграма це добре пояснює.

— Джейсон R

1

@endolith Хороший пост - це я бачив у книзі Lyons btw. Мені здається, що фактична «відправна» точка для всіх коливань знаходиться у складній області, і що так відбувається, що ми можемо вимірювати лише реалістичні коливання, що виникають на реальній осі. Отже, коли вимірюється фізична хвиля, вона береться НАЗАД в складну область, саме там ми бачимо її компоненти за годинниковою стрілкою та проти годинникової форми. Що смішно, оскільки "реальні" сигнали в кінцевому підсумку є "вдвічі складнішими", ніж складні сигнали ...

— Spacey

@ Мохаммед: Я не знаю, як складні експоненти є більш "фундаментальними", ніж синусоїди взагалі, хоча вони є у випадку перетворення Фур'є. Ви можете створити складні експоненти, додавши синусоїди, а синусоїди, додавши складні експоненціали. Вони всі просто функції. Синусоїди, як правило, походять з кіл, які можуть бути чимось у складній площині, або можуть бути просто висотою точки на прядильному колесі.

— ендоліт

@endolith Right. Я розширив це щодо деяких своїх постів. У будь-якому випадку чудовий пост (і дякую за поперечне посилання). Майте нагороду! :-)

— Спейсі

2

@Goldname Цизоїди позитивної та негативної частоти додаються разом. Реальні частини знаходяться у фазі та сумуються разом, уявні частини мають протилежну полярність, а скасовуються

— ендоліт

37

Скажімо, у вас було спінінг. Як би ви описали, як швидко він крутиться? Ви, напевно, скажете, що він обертається з Xоборотами в хвилину (об / хв). Тепер, як ви передати, в якому напрямку він крутиться з цим номером? Це той самий Xоберт, якщо він обертається за годинниковою або проти годинникової стрілки. Отже, ви почухаєте голову і скажете добре, ось розумна ідея: я буду використовувати конвенцію, +Xщоб вказати, що вона крутиться за годинниковою стрілкою і -Xпроти годинникової стрілки. Вуаля! Ви вигадали негативні RPM!

Негативна частота нічим не відрізняється від вищенаведеного простого прикладу. Просте математичне пояснення того, як спливає негативна частота, видно з перетворень Фур'є синусоїдів чистого тону.

Розглянемо пару перетворення Фур'є складної синусоїди: (ігноруючи умови постійного множника). Для чистого синусоїди (справжнього) ми маємо від відношення Ейлера: $e^{\jmath \omega_0 t}\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0)$

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

а отже, його пара перетворення Фур'є (знову ж таки, ігноруючи постійні множники):

\cos (ω_{0} t) ⟷ δ (ω + ω_{0}) + δ (ω - ω_{0})

$\cos(\omega_0 t)\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)$

Ви можете бачити, що він має дві частоти: позитивну на та негативну на за визначенням! Комплексна синусоїда широко використовується, оскільки неймовірно корисна для спрощення наших математичних обчислень. Однак він має лише одну частоту, а справжній синусоїд насправді має дві. $\omega_0$ $-\omega_0$ $ae^{\jmath \omega_0 t}$

— Лорем Іпсум
джерело

3

дякую за відповідь - я розумію математику - і це є щось основне, що я знаю, але це не дає нам інформації про фізичний зміст ... Хоча на вашому прикладі спінінгу - ок, значить, частота передає " напрям 'зміни фази. Досить справедливо, але все ж, чому синусоїда має "дві" частоти, одну позитивну та одну негативну? Це тому, що перетворення фур'є є "агностичним часом", і тому ви можете дивитись на справжній синусоїд у реальному напрямку часу, отримувати свою + ве та дивитися на ту саму хвилю назад у часі і отримувати свою -ve? Дякую.

— Спейсі

10

Я не впевнений, що на вашу плутанину є конкретна відповідь. Вміст на негативних частотах є наслідком визначення перетворення Фур'є і безпосередньо не має фізичного значення. Перетворення Фур'є по суті не є "фізичною" операцією, тому не потрібно. Частота синусоїди - похідне від фази часу, не більше того. Негативні частоти - це лише математичний артефакт, на який дехто зависає, подібний до використання "уявних" частин складних чисел. Вони є інструментами аналізу, використовуваними для моделювання, не обов'язково існуючими у фізичному світі.

— Джейсон R

3

@Mohammad Я згоден з Джейсоном тут. У якийсь момент спроба побудувати заради нього «фізичне» пояснення може лише погіршити ситуацію. Я не впевнений, що можу пояснити щось краще ...

— Lorem Ipsum

4

Можливе пояснення полягає в тому, що з точки перетворення Фур'є справжній синусоїд - це "справді" сума двох складних синусоїд, що крутяться в протилежних напрямках. Використовуючи аналогію колеса: зображте два колеса на початку системи координат, що крутяться з однаковою швидкістю, але в протилежних напрямках, шпилькою на кожному, що починається з (1,0). Тепер додайте координати обох штифтів: y завжди буде 0, а х буде справжньою синусоїдою.

— Себастьян Рейхельт

2

@Mohammad Що уявляють тобі уявні числа у фізичному розумінні?

— Лорем Іпсум

15

Наразі моя точка зору (вона може бути змінена) наступна

Для синусоїдального повторення мають сенс лише позитивні частоти. Фізична інтерпретація зрозуміла. Для складного експоненціального повторення має значення як позитивна, так і негативна частоти. Можливо, можливо, приєднати фізичну інтерпретацію до негативної частоти. Це фізичне тлумачення негативної частоти має відношення до напрямку повторення.

Визначення частоти, передбачене у вікі, таке: "Частота - це кількість випадків повторюваної події за одиницю часу"

Якщо дотримуватися цього визначення, негативна частота не має сенсу і тому не має фізичної інтерпретації. Однак це визначення частоти не є ретельним для складного експоненціального повторення, яке також може мати напрямок.

Негативні частоти використовуються весь час під час аналізу сигналів або систем. Принциповою причиною цього є формула Ейлера і той факт, що складні експоненти є власними функціями систем LTI.

e^{j ω n} = \cos (ω n) + j \sin (ω n)

$e^{j\omega n} = \cos( \omega n) + j\, \sin(\omega n)$

Синусоїдальне повторення зазвичай представляє інтерес і складне експоненціальне повторення часто використовується для отримання синусоїдального повторення опосередковано. Те, що вони пов'язані між собою, можна легко зрозуміти, розглядаючи подання Фур'є, записане за допомогою складних експоненцій, наприклад

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} d ω X (e^{j ω}) e^{j ω n}

$x[n]= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!d\omega \;\;\;\;X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$

Однак це рівнозначно

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω [a (ω) \cos (ω n) + b (ω) \sin (ω n)] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω α (ω) \sin (ω n + ϕ (ω))]

$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\;[a(\omega) \cos(\omega n) + b(\omega) \sin(\omega n)] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\; \alpha(\omega) \sin(\omega n + \phi(\omega))]$

Тож замість розгляду позитивної «осі синусоїдальної частоти» розглядають негативну та позитивну «складну вісь експоненціальної частоти». На «складній осі експоненціальної частоти» для реальних сигналів добре відомо, що частина негативної частоти є надлишковою і розглядається лише позитивна «складна вісь експоненціальної частоти». Здійснюючи цей крок неявно, ми знаємо, що вісь частоти являє собою складне експоненціальне повторення, а не синусоїдальне повторення.

Складне експоненціальне повторення - це круговий обертання в складній площині. Для того, щоб створити синусоїдальне повторення, потрібно два складних експоненціальних повторення, одне повторення за годинниковою стрілкою та одне протилежне повторення. Якщо фізичний пристрій побудований, що виробляє синусоїдальне повторення, натхнене тим, як створюється синусоїдальне повторення в складній площині, тобто двома фізично обертовими пристроями, що обертаються в протилежних напрямках, один з обертових пристроїв може говорити про негативний частота і, отже, негативна частота має фізичну інтерпретацію.

— ніарен
джерело

Мені подобається ваше пояснення ... повільно з’являється картина, дивіться мою відповідь / редагування на питання.

— Спейсі

9

У багатьох поширених програмах негативні частоти взагалі не мають прямого фізичного значення. Розглянемо випадок, коли в деяких електричних ланцюгах є вхідна і вихідна напруга з резисторами, конденсаторами та індукторами. Існує просто реальна вхідна напруга з однією частотою і є одна вихідна напруга з однаковою частотою, але різною амплітудою і фазою.

ТІЛЬКИ причина, чому ви б розглядали складні сигнали, складні перетворення Фур'є та математику фазора в цей момент - це математично зручність. Ви могли б зробити це так само добре з цілком реальною математикою, це було б набагато важче.

Існують різні типи перетворень часу / частоти. Трансформація Фур'є використовує складний показник як основну функцію, і застосована до однієї синусоїди, що реально оцінюється, дає результати, що оцінюються у двох значеннях, що інтерпретується як позитивна та негативна частота. Існують й інші перетворення (наприклад, дискретна косинова трансформація), які взагалі не дають негативних частот. Знову ж таки, це питання математичної зручності; Перетворення Фур'є часто є найшвидшим та найефективнішим способом вирішення конкретної проблеми.

— Гільмар
джерело

Я погоджуюсь, що, безумовно, набагато зручніше працювати в складній галузі - "випуск" повзає, оскільки деякі люди стверджують, що фізичним значенням негативних частот немає фізичного значення, але якимось чином вони володіють енергією в області частоти. Що ж, якщо їх там немає "насправді", то звідки ця енергія?

— Спейсі

3

Вам слід вивчити перетворення або серію Фур'є, щоб зрозуміти негативну частоту. Справді, Фур'є показав, що ми можемо показати всі хвилі, використовуючи деякі синусоїди. Кожен синусоїд може бути показаний з двома піками на частоті цієї хвилі, один у позитивну сторону і один у негативну. Тож теоретична причина зрозуміла. Але з фізичної причини я завжди бачу, що люди кажуть, що негативна частота має просто математичне значення. Але я здогадуюсь про фізичну інтерпретацію, що я не зовсім впевнений; Коли ви вивчаєте круговий рух як основний дискусій про хвилі, напрямок швидкості руху по півколу обернено іншою половиною. Це може бути причиною того, що у нас є два піки в обидві сторони частотної області для кожної синусоїди.

— Хоссен
джерело

Хоссен, так, я погоджуюся, що це було заплутано на деякий час. Я чекаю на йоду його відгуку, але якщо це просто ознака похідної фази, то я бачу мовну проблему - можливо, джерело плутанини з багатьма іншими людьми, з якими я також говорив про це. Фізичне значення "частоти" - це "швидкість коливань" чогось, сенс повинен бути позитивним. Ось де я думаю, що визначення відрізняються від визначення фізики.

— Спейсі

Перегляньте сторінку en.wikipedia.org/wiki/Circular_motion; і тому f і w мають пряме відношення. У кожній хвилі змінюється напрямок швидкості, щоб мати повне коливання. Ми завжди повинні дбати про те, щоб справжня хвиля мала дві швидкості, щоб бути повною. На практиці, коли ви працюєте з аналізатором спектру, ви просто позитивну частину, оскільки це достатньо. Негативна частина є цілком значущою, оскільки у випадку зсуву ви можете побачити цю негативну частину на аналізаторі спектру, який показує лише позитивні частини.

w = 2 * π / T

$w=2∗π/T$

f = 1 / T

$f=1/T$

— Hossein

1

Яке значення негативної відстані? Одна з можливостей полягає в тому, що це для наступності, тому вам не доведеться перевертати планету Землю догори дном щоразу, коли ви йдете по екватору, і хочете побудувати своє положення на північ суцільною першою похідною.

Те саме з частотою, коли можна зробити такі дії, як FM-модуляція з модуляцією, ширшою від несучої. Як би ви це задумали?

— гаряча лапа2
джерело

Дивіться мою нову відповідь / редагуйте на питання

— Spacey

1

Простий спосіб роздуму над проблемою полягає у зображенні стоячої хвилі. Стояча хвиля (у часовій області) може бути представлена як сума двох протилежно рухомих хвиль (у частотній області з позитивним та негативним k вектором, або + w та -w, що еквівалентно). Ось відповідь на те, чому у вас є два частотні компоненти у FFT. FFT - це в основному сума (згортка) багатьох таких хвиль, що протилежно рухаються, які представляють вашу функцію у часовій області.

— користувач3320933
джерело

-3

Раніше для отримання правильної відповіді на владу вам довелося подвоїти відповідь. Але якщо ви інтегруєте від мінус нескінченності до плюс нескінченності, ви отримаєте правильну відповідь без довільного подвоєння. Тож вони сказали, що мають бути негативні фрикейни. Але їх ніхто ніколи насправді не знаходив. Тому вони уявні або принаймні з фізичної точки зору нез'ясовані.

— Дуг Барр
джерело

-4

Це виявилося досить гарячою темою.

Прочитавши багате безліч добрих і різноманітних думок та інтерпретацій і давши проблемі кипіти в голові якийсь час, я вважаю, що я маю фізичну інтерпретацію явища негативних частот. І я вважаю, що ключове тлумачення тут полягає в тому, що фур’єр сліпий час. Детальніше про це:

Багато говорили про "напрямок" частоти, і, як це може бути + ве або -ве. Хоча загальна думка авторів, яка говорить про те, що це не втрачено, проте це твердження суперечить визначенню часової частоти, тому спочатку ми повинні дуже ретельно визначити наші терміни. Наприклад:

Відстань - скалярна (може бути колись + ве), тоді як переміщення - вектор. (тобто має напрямок, може бути + ve або -ve для ілюстрації заголовка).
Швидкість - скалярна (може бути лише + ве), тоді як швидкість - вектор. (тобто, знову ж таки, має напрямок і може бути + ve або -ve).

Таким чином, тими ж лексемами,

Тимчасова частота - скалярна (може бути + ве)! Частота визначається як кількість циклів за одиницю часу. Якщо це прийняте визначення, ми не можемо просто стверджувати, що воно йде в іншому напрямку. Це скаляр все-таки. Натомість ми повинні визначити новий термін - векторний еквівалент частоти. Можливо, «кутова частота» була б правильною термінологією тут, і саме це саме те, що вимірює цифрова частота.

Тепер ми раптом перебуваємо в роботі з вимірюванням кількості обертів за одиницю часу (величина вектора, яка може мати напрямок), VS - лише кількість повторень деяких фізичних коливань.

Таким чином, коли ми запитуємо про фізичну інтерпретацію негативних частот, ми також неявно запитуємо про те, як скалярні і дуже реальні вимірювання кількості коливань за одиницю часу якогось фізичного явища, наприклад хвилі на пляжі, синусоїдальний струм змінного струму по дроту, підключіть до цієї кутової частоти, щоб тепер раптом було напрямок, або за годинниковою стрілкою.

Звідси, щоб дійти до фізичної інтерпретації негативних частот, потрібно прислухатися до двох фактів. Перший полягає в тому, що, як вказував Фур'є, коливальний реальний тон зі скалярною часовою частотою f може бути побудований шляхом додавання двох коливальних складних тонів з векторними кутовими частотами + w і -w разом.

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

Це здорово, але що ж? Ну, складні тони обертаються в напрямках, протилежних один одному. (Див. Також коментар Себастьяна). Але яке значення тут мають "напрямки", які надають нашим кутовим частотам їх векторний статус? Яка фізична величина відображається у напрямку обертання? Відповідь - час. У першому складному тоні час рухається у напрямку + ve, а у другому складному тоні час рухається у напрямку -ve. Час йде назад.

Маючи це на увазі і швидко скориставшись, щоб нагадати, що часова частота є першою похідною фази щодо часу (просто зміна фази з часом), все починає ставати на свої місця:

Фізична інтерпретація негативних частот така:

Першим моїм усвідомленням було те, що фур'є є агностичним часом . Тобто, якщо ви задумаєтесь, то в аналізі фур'є чи самій трансформації немає нічого, що може сказати вам, що таке "напрямок" часу. Тепер уявіть фізично коливальну систему (тобто реальну синусоїду від скажімо, струм по дроту), яка коливається на деякій скалярній часовій частоті, f .

Уявіть, що "дивиться" вниз по цій хвилі в напрямку руху вперед, коли вона прогресує. Тепер уявіть собі обчислити різницю фази в кожен момент часу, коли ви прогресуєте далі. Це дасть вам скалярну часову частоту, і ваша частота позитиву. Все йде нормально.

Але зачекайте хвилину - якщо фур’єр сліпий час, то чому він повинен вважати вашу хвилю лише у напрямку вперед? У цьому напрямку немає нічого особливого в часі. Таким чином, через симетрію слід враховувати й інший напрямок часу. Таким чином, тепер уявіть собі, "дивлячись" на ту саму хвилю (тобто назад у часі), а також виконуючи той же розрахунок дельта-фази. Оскільки час йде назад, а ваша частота змінюється фазою / (негативний час), ваша частота тепер буде негативною!

Що насправді говорить Фур'є, це те, що цей сигнал має енергію, якщо він відтворюється вперед у часі на частоті бін f, але ТАКОЖ має енергію, якщо відтворюється назад у часі, хоча і на частоті бін -f. У певному сенсі ОБОВ'ЯЗКОВО це сказати, тому що фур'є не має можливості «знати», що таке «справжній» напрямок часу!

То як же фур’є захоплює це? Ну, для того , щоб показати напрямок часу, поворот якого - то повиненвикористовуйте так, що обертання за годинниковою стрілкою узгоджується "дивлячись" на сигнал стрілкою вперед, а обертання проти годинникової стрілки - "дивлячись" на сигнал, як би час рухався назад. Скалярна часова частота, з якою ми всі знайомі, тепер повинна дорівнювати (масштабованому) абсолютному значенню нашої кутової частоти вектора. Але як може точка, що означає зміщення синусоїдної хвилі, прийти до своєї початкової точки після одного циклу, але одночасно обертатися навколо кола і підтримувати прояв тимчасової частоти, яку вона позначає? Тільки якщо основні осі цього кола складаються з вимірювання зміщення цієї точки відносно вихідної синусоїди та відключення синусоїди на 90 градусів. (Саме так фур'є отримує синус і косинус, на основі якого ви проектуєте, кожен раз, коли ви виконуєте DFT!). І нарешті, як ми тримаємо ці оси окремо? 'J' гарантує, що величина на кожній осі завжди не залежить від величини на іншій, оскільки реальні та уявні числа не можуть бути додані для отримання нового числа в будь-якій області. (Але це лише бічна нота).

Отже, підсумовуючи:

Перетворення Фур'є є агностичним за часом. Він не може визначити напрямок часу. Це в основі негативних частот. Оскільки частота = зміна фази / час, у будь-який час, коли ви приймаєте сигнал DFT, фур'є говорить, що якщо час йшов вперед, ваша енергія знаходиться на осі частоти + ve, але якщо ваш час рухався назад, ваша енергія розташований на осі частоти -ve.

Як показав наш Всесвіт раніше , саме тому, що Фур'є не знає напрям часу, обидві сторони DFT повинні бути симетричними, і чому існування негативних частот є необхідним і насправді дуже реальним.

— Космічний
джерело

1

Я думаю, ви читаєте трохи занадто багато в цьому, намагаючись виправдати відповідь, яку ви вже вирішили. Коріння "негативних" частот було вказано в інших відповідях. Перетворення Фур'є використовує складні експоненти як основні функції. Їх складний характер дає змогу розрізнити ознаку частоти експоненціалу зі збільшенням часу. Складні експоненти представляють інтерес, оскільки вони є власними функціями лінійних інваріантних за часом систем. Це робить FT дуже корисним як інструмент аналізу сигналів та систем.

— Джейсон R

4

Негативні частоти, які існують при комплексно-експоненціальному розкладанні сигналів, є частиною пакету, який поставляється разом із використанням перетворення Фур'є. Не потрібно складати складне, якісне пояснення того, що вони повинні означати.

— Джейсон Р

1

Також я думаю, що ваша перша куля може помилитися; Я завжди чув відстань, яку називають скалярною, тоді як зміщення - величиною вектора.

— Джейсон R

1

Також, окрім того, що сказав Джейсон, я дійсно не бачу "фізичного" аспекту в цій відповіді, про який ви сказали, що не вистачає всіх інших ...

— Лорем Іпсум,

@JasonR Я знаю, що мій пост довгий, але будь ласка , спробуйте прочитати його (повністю), перш ніж коментувати його в майбутньому. Коли ви це зробите, ви побачите, що це не складно, але добре відповідає тому, що ми знаємо до цих пір. Ви побачите, як моє пояснення насправді випливає та будується з усіх попередніх відповідей та мого дослідження літератури.

— Спейсі