Яка точна міра розрідженості?

Зараз я працюю над стислим зондуванням та розрідженим поданням сигналів, зокрема зображень.

Мене часто запитують "що таке визначення обмеженості?". Я відповідаю "якщо більшість елементів сигналу дорівнюють нулю або близькі до нуля, в такій області, як Фур'є або Хвилема, то цей сигнал є рідкісним на цій основі". але в цьому визначенні завжди існує проблема, "що означає більшість елементів? Це 90 відсотків? 80 відсотків? 92,86 відсотка ?!" Ось де виникає моє запитання, чи є якесь точне, тобто числове, визначення для невисокої?

sparsity

— М.Джалалі
джерело

Я думаю, що ви знайдете, що рідкісний - це такий термін, як пропускна здатність . Вони не мають єдиного визначення, яке застосовується у всіх контекстах. Відповідь - незадовільне "це залежить".

— Джейсон R

@JasonR Я так думаю, але чи є якась згадка про це?

— М.Джалалі

Це також залежить від схеми реконструкції.

— MimSaad

@Jason R Ваше поєднання з пропускною здатністю досить надихає. Обидва мають амплітудне поняття щодо деякої підтримки. Мені здається, що пропускна здатність нав'язує деяку ідею "достатньої" зв'язку з обмеженістю

— Лоран Дюваль

" Чи є якесь точне, тобто числове, визначення обмеженості? " І під числовим я розумію і обчислювальне , і практично "корисне". Я вважаю, що: поки що, як мінімум, немає консенсусу, але є кілька гідних претендентів. Перший варіант " рахувати лише ненульові терміни " є точним, але неефективним (чутливий до числового наближення та шуму і дуже складний для оптимізації). Другий варіант " більшість елементів сигналу дорівнює нулю або близький до нуля " є досить неточним, або на "більшість", і на "близьке до".

Тож " точна міра рідкості " залишається невловимою, без більш формальних аспектів. Остання нещодавня спроба визначити обмеженість, здійснену в Харлі та Рікарді, 2009 р., Порівнюючи міри розрідження , транзакції IEEE з інформаційної теорії.

Їх ідея полягає у створенні набору аксіом, які повинен виконувати хороший показник розрідження ; наприклад, сигнал $x$ помножена на ненульову постійну, $\alpha x$ , повинні мати однакову розрідженість. Інакше кажучи, має бути мізерне обмеження $0$ -однорідний. Дивно, що $\ell_1$ проксі в компресійному зондуванні або в регресії ласо є $1$ -однорідний. Це справді стосується кожної норми або квазі-норми $\ell_p$ , навіть якщо вони схильні до (не надійної) міри підрахунку $\ell_0$ як $p\to 0$ .

Отже вони детально описують свої шість аксіом, проводять обчислення, запозичені з аналізу багатства:

Робін Гуд (брати у багатих, віддавати бідним зменшує розрідження),
Масштабування (постійне множення зберігає рідкість),
Rising Tide (додавання того ж ненульового рахунку зменшує розрідженість),
Клонування (дублювання даних зберігає рідкість),
Білл Гейтс (Один чоловік стає багатшим збільшує розрідження),
Діти (додавання нульових значень збільшує розрідженість)

та дослідити відомі заходи проти них, виявивши, що індекс Джині та деякі норми чи квазінормальні коефіцієнти можуть бути хорошими кандидатами (для останніх деякі деталі наведені в Euclid у Taxicab: Sparse Blind Deconvolution with Smoothed $\ell_1/\ell_2$ Регуляризація , 2005, листи оброблення сигналів IEEE). Я відчуваю, що цю початкову роботу слід було б розвивати далі ( будьте налагоджені на SPOQ, Smoothed $p$ над $q$ $\ell_p/\ell_q$ співвідношення квазі-норм / норм ). Бо за сигнал $x$ , $0< p\le q$ , нерівність норми коефіцієнта виходу:

1 \leq \frac{ℓ_{p} (х)}{ℓ_{q} (х)} \leq ℓ_{0} (х)^{1 / p - 1 / q}

$1\le \frac{\ell_p(x)}{\ell_q(x)}\le \ell_0(x)^{1/p-1/q}$

і прагне до $1$ (лівий бік, LHS) коли $x$ є рідкісним, а праворуч (RHS), коли ні. Ця робота тепер є переддруком: SPOQ: плавна регуляризація p-Over-q для розрідженого відновлення сигналів, застосована до масової спектрометрії . Однак обґрунтований показник обмеженості не говорить вам про те, чи є перетворені дані достатньо рідкими, чи ні, для вашої мети.

Нарешті, ще одна концепція, що застосовується при зжиманні стиснення, - це концепція стиснення сигналів, де переупорядковані (спадні) коефіцієнти величин $c_{(k)}$ слідувати закону про владу $C_\alpha .(k)^{-\alpha}$ , і тим більше $\alpha$ , тим різкіше розпад.

— Лоран Дюваль
джерело