Чому FFT "дзеркальний"?

Якщо ви зробите графік FFT простого сигналу, наприклад:

t = 0:0.01:1 ;
N = max(size(t));
x = 1 + sin( 2*pi*t ) ;
y = abs( fft( x ) ) ;
stem( N*t, y )

Синусоїда 1 Гц + постійний струм

1Гц

FFT вище

ффт

Я розумію, що число в першому біні - це "скільки постійного струму" в сигналі.

y(1)  %DC
  > 101.0000

Число у другому відрізку має бути "скільки у 1 циклу за весь сигнал" є:

y(2)  %1 cycle in the N samples
  > 50.6665

Але це не 101! Це приблизно 50,5.

В кінці сигналу fft є ще одна запис, рівна за величиною:

y(101)
  > 50.2971

Так знову 50,5.

Моє запитання: чому ДФП відображено таким чином? Чому це не просто 101 дюйм y(2)(що, звичайно, означатиме, що всі 101 бункери вашого сигналу мають в ньому синусоїду 1 Гц?)

Чи було б точно зробити:

mid = round( N/2 ) ;

% Prepend y(1), then add y(2:middle) with the mirror FLIPPED vector
% from y(middle+1:end)
z = [ y(1), y( 2:mid ) + fliplr( y(mid+1:end) ) ];

stem( z )

Переверніть та доповніть у другій половині вектора FFT

введіть тут опис зображення

Я думав, що тепер дзеркальна частина праворуч додана правильно, що дає мені бажане "всі 101 бункери FFT містять синусоїду 1 Гц"

>> z(2)

ans =

  100.5943

dft

— бобобобо
джерело

На подібне запитання відповіли тут: dsp.stackexchange.com/questions/3466/…

— pichenettes

Але мова йде саме про симетрію (я вважаю, це називається Гермеєва симетрія?) Сигналу.

— бобобобо

Для чисто реальних сигналів F (k) = conj (F (Nk)) ось чому перетворення Фур'є чистого реального сигналу є симетричним.

— WebMonster

Запитайте себе: якого результату ви очікували, якби ваш сигнал був 1 + cos (2 * pi t) ... І 1 + i cos (2 * pi t) ... І 1 + i sin (2 * pi * t) ...

— пішенети

Оскільки перетворення Фур'є розбиває сигнал на складні експоненти, а синусоїда - це сума 2 складних експоненцій. dsp.stackexchange.com/a/449/29

— ендоліти

Відповіді:

Реальні сигнали "відображені" в реальній і негативній половинах перетворення Фур'є через характер перетворення Фур'є. Перетворення Фур'є визначається як:

$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt$

В основному він співвідносить сигнал з купою складних синусоїд, кожен зі своєю частотою. То як виглядають ці складні синусоїди? На малюнку нижче зображено один складний синусоїд.

введіть тут опис зображення

"Штопор" - це обертається складний синусоїд у часі, тоді як два синусоїди, які слідують за ним, є витягнутими реальними та уявними компонентами складного синусоїда. Проникливий читач відзначить, що реальні та уявні компоненти точно такі ж, лише вони перебувають у фазі один з одним на 90 градусів ( ). Оскільки вони знаходяться на 90 градусах поза фазою, вони ортогональні і можуть "захоплювати" будь-який компонент сигналу на цій частоті. $\frac{\pi}{2}$

Зв'язок між експоненціалом і косинусом / синусом визначається формулою Ейлера -

$e^{jx} = cos(x) + j*sin(x)$

Це дозволяє нам змінити перетворення Фур'є наступним чином -

Н (f) = \int год (т) е^{- j 2 π f т} г т = \int год (т) (c о с (2 π f т) - j * с i н (2 π f т)) г т

$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) - j*sin(2\pi ft))dt$

На від'ємних частотах перетворення Фур'є стає таким:

H (- f) = \int h (t) (c o s (2 π (- f) t) - j * s i n (2 π (- f) t)) d t = \int h (t) (c o s (2 π f t) + j * s i n (2 π f t)) d t

$H(-f) = \int h(t)(cos(2\pi (-f)t) - j*sin(2\pi (-f)t))dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) + j*sin(2\pi ft))dt$

Порівнюючи версію негативної частоти з версією позитивної частоти, видно, що косинус однаковий, коли синус інвертований. Вони все ще на 90 градусах поза фазою один з одним, хоча дозволяють їм вловлювати будь-який компонент сигналу на цій (негативній) частоті.

Оскільки синусоїди як позитивної, так і негативної частоти знаходяться поза фазою і мають однакову величину, вони обидва реагують на реальні сигнали однаково. А точніше, величина їх реакції буде однаковою, але фаза кореляції буде іншою.

EDIT: Зокрема, кореляція негативної частоти є сукупністю кореляції позитивної частоти (за рахунок перевернутого уявного синусоїдного компонента) для реальних сигналів. У математичному плані це, як вказував Діліп, наступне:

$H(-f) = [H(f)]^*$

Ще один спосіб подумати над цим:

Уявні компоненти - це саме те. Вони є інструментом, який дозволяє використовувати додаткову площину для перегляду речей і робить можливою більшу частину цифрової (і аналогової) обробки сигналів, якщо не набагато простіше, ніж використання диференціальних рівнянь!

Але ми не можемо порушити логічні закони природи, ми не можемо зробити нічого «реального» з уявним змістом і тому воно повинно ефективно скасувати себе перед поверненням до реальності. Як це виглядає у перетворенні Фур'є часового сигналу (складна частотна область)? Якщо ми додаємо / підсумовуємо позитивні та негативні частотні компоненти сигналу, то уявні частини скасовуються, це ми маємо на увазі під твердженням, що позитивні та негативні елементи з'єднуються між собою. Зауважте, що коли FT приймається тимчасовим сигналом, то існують ці сполучені сигнали, причому "реальна" частина кожного поділяє величину, половина в позитивній області, половина в негативній, тому фактично додавання кон'югатів разом видаляє уявний контент і надає лише реальний зміст. $^\dagger$

Значення ми не можемо створити напругу, вольт. Очевидно, ми можемо використовувати уявні числа для представлення сигналів реального світу, які мають двозначне значення, наприклад, кругові поляризовані хвилі ЕМ. $^\dagger$ $5i$

— Джим Клей
джерело

Хороша відповідь - одна незначна нітпік, проте я не перебуваю на борту з "Оскільки вони однакові, все, що стосується одного, інше теж буде з точно такою ж величиною і зсувом фази в 90 градусів". Я знаю, що ви намагаєтесь сказати, проте (як ви знаєте), синус співвідноситься з синусом (оцінка 1), але взагалі не будемо співвідносити з косинусом (оцінка 0). Вони однакові, але з різними фазами.

— Спейсі

Ти правий. Є ще одна більш серйозна проблема. Я це виправлю пізніше.

— Джим Клей

Було б добре, якби ви могли відредагувати свою відповідь, щоб більше відповідати на питання, яке стосується DFT (хоча в заголовку написано FFT), а не давати загальну теорію перетворень Фур'є.

— Діліп Сарват

@DilipSarwate Моя мета - допомогти питаючому зрозуміти, і я думаю, що мій підхід найкраще для цього. Я, однак, відмовився від вашої відповіді за те, щоб робити дискретну математику.

— Джим Клей

H (- f) = [H (f)]^{*}

$H(-f) = [H(f)]^*$

| H (- f) | = | H (f) |

$|H(-f)| = |H(f)|$

x (t)

$x(t)$ є сигналом реальної цінності і що це "дзеркальне відображення", про яке запитувала ОП. Іншими словами, я прошу вас відредагувати свою відповідь, щоб більш відповідально відповідати на питання, яке насправді задавали (як я просив у своєму попередньому коментарі).

— Діліп Сарват

$N$ $101$ $N$ $N$ $2^k$ $4^k$ щоб прискорити обчислення DFT через FFT.

$\mathbf x = \bigr(x[0], x[1], x[2], \ldots, x[N-1]\bigr)$ $N$ $\mathbf X =\bigr(X[0], X[1], X[2], \ldots, X[N-1]\bigr)$

Х [м] = \sum_{н = 0}^{N - 1} х [н] {(досвід (- j 2 π \frac{м}{N}))}^{н}, м = 0, 1, \dots, N - 1

$X[m] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n, m = 0, 1, \ldots, N-1$

j = \sqrt{- 1}

$j = \sqrt{-1}$

X

$\mathbf X$

x

$\mathbf x$

x

$\mathbf x$

X [0] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n]

$\displaystyle X[0]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]$

N

$N$

\exp (- j π) = - 1

$\exp(-j\pi) = -1$

Х [\frac{N}{2}] = \sum_{н = 0}^{N - 1} х [н] {(досвід (- j 2 π \frac{N / 2}{N}))}^{н} = \sum_{н = 0}^{N - 1} х [н] (- 1)^{н}

$X\left[\frac{N}{2}\right] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N/2}{N}\right)\right)^n = \sum_{n=0}^{N-1} x[n](-1)^n$

N

$N$

X

$\mathbf X$

x

$\mathbf x$

m

$m$

1 \leq m \leq N - 1

$1 \leq m \leq N-1$

\begin{aligned} Х [м] & = \sum_{н = 0}^{N - 1} х [н] {(досвід (- j 2 π \frac{м}{N}))}^{н} \\ Х [N - м] & = \sum_{н = 0}^{N - 1} х [н] {(досвід (- j 2 π \frac{N - м}{N}))}^{н} \\ = \sum_{н = 0}^{N - 1} х [н] {(досвід (- j 2 π + j 2 π \frac{м}{N}))}^{н} \\ = \sum_{н = 0}^{N - 1} х [н] {(досвід (j 2 π \frac{м}{N}))}^{н} \\ = {(Х [м])}^{*} \end{aligned}

$\begin{align*} X[m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n\\ X[N-m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N-m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi + j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \left(X[m]\right)^* \end{align*}$

1 \leq m \leq N - 1

$1 \leq m \leq N-1$

X [N - m] = {(X [m])}^{*}

$X[N-m] = \left(X[m]\right)^*$

m = N / 2

$m = N/2$

N

$N$

X [N / 2] = {(X [N / 2])}^{*}

$X[N/2] = \left(X[N/2]\right)^*$

X [N / 2]

$X[N/2]$

$m$ $(N-m)$

$1$

$\mathbf x$ $1$ $1$

х [н] = 1 + гріх (2 π (0,01 н)), 0 \leq н \leq 100

$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 100$

x [0] = x [100] = 1

$x[0] = x[100] = 1$

101

$101$

Х [м] = \sum_{н = 0}^{100} (1 + гріх (2 π (\frac{н}{100}))) {(досвід (- j 2 π \frac{м}{101}))}^{н}

$X[m] = \sum_{n=0}^{100} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{101}\right)\right)^n$

100

$100$

101

$101$

X [m]

$X[m]$

2 \leq m \leq 99

$2 \leq m \leq 99$ t

100

$100$

t = 0, 0.01, 0.02, \dots, 0.99

$t=0, 0.01, 0.02, \ldots, 0.99$

х [н] = 1 + гріх (2 π (0,01 н)), 0 \leq н \leq 99.

$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 99.$

Х [м] = \sum_{н = 0}^{99} (1 + гріх (2 π (\frac{н}{100}))) {(досвід (- j 2 π \frac{м}{100}))}^{н},

$X[m] = \sum_{n=0}^{99} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{100}\right)\right)^n,$

X = (100, - 50 j, 0, 0, \dots, 0, 50 j)

$\mathbf X = (100, -50j, 0, 0, \ldots, 0, 50j)$

0 \leq n \leq 99

$0 \leq n \leq 99$

\begin{aligned} х [н] & = \frac{1}{100} \sum_{м = 0}^{99} Х [м] {(досвід (j 2 π \frac{н}{100}))}^{м} \\ = \frac{1}{100} [100 - 50 j досвід {(j 2 π \frac{н}{100})}^{1} + 50 j {(досвід (j 2 π \frac{н}{100}))}^{99}] \\ = 1 + \frac{1}{2 j} [досвід (j 2 π \frac{н}{100}) - досвід (j 2 π \frac{- н}{100})] \\ = 1 + гріх (2 π (0,01 н)) \end{aligned}

$\begin{align*} x[n] &= \frac{1}{100}\sum_{m=0}^{99}X[m]\left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^m\\ &= \frac{1}{100}\left[100 - 50j\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)^1 + 50j \left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^{99}\right]\\ &= 1 + \frac{1}{2j}\left[\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right) - \exp\left(j2\pi \frac{-n}{100}\right)\right]\\ &= 1 + \sin(2\pi (0.01n)) \end{align*}$

— Діліп Сарват
джерело

Отже, чи можна сказати з FFT, сигнал є періодичним чи ні ?

— ім'я відображення

@displayname Це окреме питання, яке слід задати самостійно (і, можливо, вже було задано і відповіло).

— Діліп Сарват

Коли я обережно витягаю сполучені симетричні бункери [записуючи в них 0 + 0i] та реконструюючи сигнал часової області за допомогою ifft, величина реконструйованого сигналу часової області зменшилася вдвічі. Це природно чи це проблема з інструментами? Я дбаю про нормалізацію виходу FFT та її зворотну після iFFT.

— Радж

Зауважте, що результат FFT є дзеркальним (як у поєднанні симетричним), лише якщо вхідні дані справжні.

Для суто реальних вхідних даних два суміжні дзеркальні зображення в результаті FFT скасовують уявні частини будь-яких складних синусоїд і, таким чином, підсумовують суто справжній синусоїд (за винятком крихітного числового шуму округлення), тим самим залишаючи вас із зображенням строго справжні синусоїди.

Якби результат FFT не був дзеркальним дзеркальним відображенням, він представляв би форму хвилі, яка мала складні значення (ненульові уявні компоненти), а не щось суто реальне.

— гаряча лапа2
джерело