Який ефект має затримка часової області в частотній області?

21

Якщо у мене є сигнал з обмеженим часом, скажімо, синусоїда, яка триває лише секунди, і я приймаю FFT цього сигналу, я бачу частотну характеристику. У прикладі це був би стрибок на головній частоті синусоїди. $T$

Тепер, скажіть, я приймаю той самий часовий сигнал і затримую його на деякий час постійним, а потім приймаю FFT, як все змінюється? Чи здатний FFT представляти цю затримку часу?

Я визнаю, що затримка в часі являє собою зміну у частотній області, але мені важко визначити, що це насправді означає . $\exp(-j\omega t)$

Практично кажучи, чи є частотна область відповідним місцем для визначення часової затримки між різними сигналами?

fft fourier-transform delay

— галамін
джерело

1

Це залежить від того, що ви маєте на увазі під FFT. Скажімо, ваш вихідний сигнал мав проб часу. Припустимо, затримка становить зразків. Отже, у вас є зразків, причому перші - . Чи обчислюєте ви FFT перших зразків (таких же, як і раніше)? з зразків? з останніх з зразків? Відповідь буде залежати від того, що ви маєте на увазі під FFT ...

N

$N$

100

$100$

N + 100

$N+100$

100

$100$

0

$0$

N

$N$

N + 100

$N+100$

N

$N$

N + 100

$N+100$

— Діліп Сарват

1

@Dilip Я шукаю більш загальну відповідь. Можливо, пояснення того, що змінилося б у цих сценаріях, було б корисним?

— галамін

1

Якщо передати останній з зразків вашої - точкове FFT підпрограми, ви отримаєте таке ж FFT як ви отримали раніше. Ніякої різниці. Якщо ви передасте перший з зразків (з перших зразків ) у вашу підпрограму FFT FFT, ви отримаєте речі, які важко інтерпретувати. Уважно прочитайте відповідь від @JasonR, яка говорить про те, що якщо перші зразків заповниться з ваших даних за допомогою кругового чи циклічного зсуву, ви побачите затримку, відображену у фазі зразків.

N

$N$

N + 100

$N+100$

N

$N$

N

$N$

N + 100

$N+100$

100

$100$

0

$0$

N

$N$

100

$100$

— Діліп Сарват

21

Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) , зазвичай здійснюється швидке перетворення Фур'є (ШПФ) , відображає послідовність кінцевої довжини дискретних відліків у тимчасовій області в послідовності однакової довжини вибірок в частотної області. Зразки в частотній області загалом є складними числами; вони представляють коефіцієнти, які можуть бути використані у зваженій сумі складних експоненціальних функцій у часовій області для реконструкції вихідного сигналу часової області.

Ці складні числа представляють амплітуду і фазу, які пов'язані з кожною експоненціальною функцією. Таким чином, кожне число у вихідній послідовності FFT можна інтерпретувати як:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{\frac{- j 2 π n k}{N}} = A_{k} e^{j ϕ_{k}}

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{\frac{-j 2 \pi n k}{N}} = A_k e^{j \phi_k}$

Ви можете інтерпретувати це так: якщо ви хочете відновити x [n], сигнал, з якого ви почали, ви можете взяти купу складних експоненціальних функцій , кожен на і підсумовуйте їх. Результат точно рівний (в числовій точності) . Це лише визначення на основі слова зворотного DFT. $e^{\frac{j 2 \pi n k}{N}}, k = 0, 1, \ldots, N-1$ $X[k] = A_k e^{j \phi_k}$ $x[n]$

Отже, кажучи на ваше запитання, різні аромати перетворення Фур'є мають властивість, що затримка часової області переходить у фазовий зсув частотної області. Для DFT це властивість:

x [n] \leftrightarrow X [k]

$x[n] \leftrightarrow X[k]$

x [n - D] \leftrightarrow e^{\frac{- j 2 π k D}{N}} X [k]

$x[n-D] \leftrightarrow e^{\frac{-j2 \pi k D}{N}}X[k]$

Тобто, якщо ви затримуєте вхідний сигнал на зразки, то кожне комплексне значення у FFT сигналу множиться на постійну . Люди звичайно не усвідомлюють, що результати DFT / FFT є складними значеннями, оскільки вони часто візуалізуються лише як величини (або іноді як величина та фаза). $D$ $e^{\frac{-j2 \pi k D}{N}}$

Редагувати: Хочу зазначити, що для цього DFT є деякі тонкощі цього правила через його обмеженість у часі. Зокрема, зсув вашого сигналу повинен бути круговим для відношення, яке потрібно утримувати; тобто, коли ви затримуєте на зразки, вам потрібно завернути останні зразки, які були в кінці на передню частину сигналу, що затримується. Це насправді не відповідає тому, що ви б побачили у реальній ситуації, коли сигнал просто не запускається до початку діафрагми DFT (і передує, наприклад, нулі). Ви завжди можете обійти це, наклавши нуль початкового сигналу так що при затримці на $x[n]$ $D$ $D$ $x[n]$ $x[n]$ $D$ Зразки, ви все одно просто обернете нулі на передню частину. Цей взаємозв'язок стосується лише DFT, оскільки він є обмеженим у часі; це не стосується класичного перетворення Фур'є або дискретного перетворення Фур'є .

— Джейсон Р
джерело

1

Галамін,

Це просто означає, що у вашому векторі FFT відбудеться зсув фази. Коли ви FFT ваш (реальний) сигнал, ваша відповідь буде складною, так що у вас буде реальна і уявна частина. Якщо ви взяли їх фазу (inverse_tangent (imag / real)), це відобразить всі фази частот. Те, як їх фази відрізняються від того, якщо у вас не було затримок, пов’язано безпосередньо із затримкою у вас у часі.

(У matlab ви також можете отримати фазу, просто "кут (fft_result)").

До речі, якщо ви будете співвідносити свій сигнал із затримкою та без затримки і вибрати пік, ви можете отримати затримку таким чином. У freq-домені він віднімає всі фази вашого сигналу без затримки, з усіх сигналів із затримкою та приймає середнє значення.

— Космічний
джерело

2

У цій відповіді занадто багато речей, що залишилися невизначеними та не визначеними. Мохаммед по суті припускає круговий зсув даних, не кажучи цього. Дивіться відповідь @ JasonR (відредаговану) для ретельного опису цього пункту, і мій коментар до головного запитання про те, що існує багато способів використання FFT, і всі вони дають різні результати

— Діліп Сарват

@DilipSarwate має рацію, це передбачає круговий зсув даних. Як він зазначив, у FFT є тонкощі, засновані на вхідному векторі.

— Спейсі

@gallamine, можу чи я запитати , що ваші вектори даних виглядає, exmaple: - SIGNAL1: [someZeros, сигнал, someZeros] - SIGNAL2: [someDifferentNumberOfZeros, сигнал, someDifferentNumberOfZeros]

— Спейсі

1

$\sin(\omega t)$ $\omega$

— Аман глибокий
джерело

Привіт, амане. Ласкаво просимо до Signals.SE. Не могли б ви зайняти трохи часу і трохи відформатувати свою відповідь? У нас включений MathJax , який ми, як правило, віддаємо перевагу рівнянням. Я зробив швидке часткове редагування, яке містить кілька прикладів, якщо ви раніше не використовували його. Дякуємо за ваш внесок, і ще раз ласкаво просимо на сайт!

— datageist