Вибір конвенції та позначення для перетворення Фур'є?

Визначення перетворення Фур'є та зворотного перетворення Фур'є я дізнався в коледжі

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

Характерні характеристики цієї конвенції є

Неодиничне перетворення; одиницями частотної області є радіани (змінна - ) $\omega$
Одиниці "часової області" знаходяться у часі (змінна - ) $t$
Перетворення функцій позначаються великими літерами ( проти ) $F$ $f$
в строго означає , що функція є перетворенням Фур'є $j$ $F(j\omega)$
І звичайно, звичайна конвенція EE, що . $j=\sqrt{-1}$

Сьогодні я використовую набагато інший конвент, по суті той, що використовується у вікіпедіях :

характеристики цієї конвенції є

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$

Унітарна трансформація; одиниці частоти домену є нормалізованою частотою (змінна ) $\xi$
Одиниці "часової області" не є одиничними (змінна - ) $x$
$\hat{f}$ $f$
$\xi$ $x$

Я дуже віддаю перевагу цій конвенції з кількох причин.

Використання унітарної конвенції значно збільшує симетрію та чіткість дуелів Фур'є: порівняйте
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$
$x$ $t$ $t$
Я вважаю, що великі літери є більш корисними для позначення змінних / функцій з дискретним значенням, ніж для представлення трансформованих функцій.
$f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
$\pi$

Звичайно, мені було б цілком марно вважати свій вибір конвенції вищим за той, який використовують інші. Але мені важко придумувати вагомі причини, щоб віддати перевагу конвенту, який я спочатку вивчив у коледжі (тобто причини, які не стосуються традицій).

$F(j\omega)$

Чи може хтось придумати інші причини, щоб віддати перевагу "традиційній" (не унітарній) конвенції? Це "традиційна" конвенція збігається з тим, що ви засвоїли курс обробки сигналу (якщо ви взяли його)? Якій умові ви віддаєте перевагу?

fourier-transform frequency

— rtollert
джерело

Питання, що вимагають особистої думки , не дуже конструктивні для цього веб-сайту. Відповідь полягає в тому, що насправді не має значення, якою є ваша конвенція, доки ви правильно її визначаєте, послідовно і в багатьох випадках дотримуєтесь загальних позначень, які використовуються у вашій галузі. Важливо - не вигадувати нові божевільні позначення, щоб бути навмисно тупими. Я не впевнений, наскільки особисті вподобання та думки корисні у будь-якому цьому ...

— Lorem Ipsum

Я можу зрозуміти бажання уникнути простої думки, але я думаю, що існує законний питання щодо того, чому традиційні конвенції є такими, якими вони є: навряд чи вони визначаються лише як історичні випадки. Я хотів би переписати це питання, щоб уникнути звернення з думками, і зосередитись на питанні, як ці рішення конвенцій / нотацій у літературі з обробки сигналів виходили в першу чергу.

— rtollert

Ви забули замінити всі 2π на τ . : D

— ендоліт

@endolith Ви побили мене до цього :)

— datageist

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

Вибір конвенції повинен бути найбільш підходящим (або звичним) для аудиторії, з якою ви намагаєтесь спілкуватися.

— гаряча лапа2
джерело

Одне з питань використання x (t) для сигналу - це паралель між

$y = x^2$

$y(t) = x(t)^2$

де x все ще є входом, а y як і раніше вихід, просто в цьому випадку вони сигнали замість чисел.

— ендоліт
джерело