Які методи наближення існують для функції суперкореня квадрата?

Мені потрібно здійснити наближення до зворотного , тобто функції квадратного суперкореня (ssrt). Наприклад, означає, що . Мене не так цікавить якась конкретна точність / бітова глибина, оскільки я розумію, які мої варіанти є на відміну від більш прямолінійних підходів, що використовують серію потужностей. $x^x$ $\mathrm{ssrt}(2) \approx 1.56$ $1.56^{1.56} \approx 2$

Вольфрам Альфа дає приємне символічне рішення з точки зору функції Ламберта W (тобто ). Вікіпедія дає ту саму формулу , як і еквівалент . Зважаючи на те, що існує достатня кількість інформації щодо обчислень [1] [2], технічно це все, що потрібно для впровадження чогось для різних вимог. Мені відомо щонайменше дві книги, в яких детально описується наближення [3] [4], тому є навіть багато місця для оптимізації з цього напрямку. $\ln(x)/W(\ln(x))$ $e^{W(\ln(x))}$ $W(x)$ $\ln(x)$

Однак у мене є два питання:

Чи були опубліковані де-небудь методи наближення, характерні для цієї функції?
Чи іде це за іншою назвою, окрім "квадратного суперкореня", який би полегшив пошук посилань?

У Вікіпедії / Google з'явилися деякі посилання, присвячені більш загальним функціям "тетрації", які включають як особливий випадок, але більшість з них, здається, більш орієнтовані на вивчення / визначення загальних випадків. $\mathrm{ssrt}(x)$

Corless, R .; Gonnet, G .; Заєць, Д .; Джеффрі, D .; Knuth, Donald (1996), "Про функцію Lambert W" http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
Цифрова бібліотека математичних функцій . http://dlmf.nist.gov/4.13
Креншо, Джек В. (2000), Інструментарій з математики для програмування в режимі реального часу.
Харт, Джон Ф. (1978), Комп'ютерні наближення.
Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A. (2002). Числова оцінка функції Ламберта W і застосування для генерації узагальненого гауссового шуму з експонентом 1/2. Операції IEEE з обробки сигналів 50, 2160-2165. http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf
Мінеро, Пол. Швидка Приблизна Ламберта W . http://www.machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

Оновлення

Провівши кілька останніх досліджень за останні кілька днів, я все ще не знайшов виду практичного "стилю Креншо" лікування я сподівався, але знайшов нове Довідкова документація тут варто документувати. На сторінці третьої в є розділ під назвою "Швидке наближення", який детально описує приближення в контексті створення шуму. Як цікавий бік, щільність ймовірності "гауссового шуму з експонентом 1/2" [у статті] виглядає разюче подібною до гістограми у відповіді Келенджба на $[3]$ $\mathrm{ssrt}(x)$ $[5]$ $W(x)$ це питання щодо виявлення відсікання сигналу .

Крім того, посилання, подане rwong у коментарях є чудовим ресурсом для реальної реалізації , і воно навіть посилається на авторський ліцензований проект BSD під назвою fastapprox , який включає описану реалізацію. $[6]$ $W(x)$

approximation

— datageist
джерело

machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

— rwong

Я запитав про це в Meta, оскільки поле коментарів не призначене для розширених дискусій. Підкажіть, будь ласка, як нам тут вирішувати ці питання: Чи є питання щодо чисельного аналізу на тему?

@datageist - Початковий висновок з мета-запитання полягав у тому, що якщо ви хочете використовувати цей чисельний аналіз для обробки даних DSP, то це на тему. Якщо ні, то ні. Як це стосується DSP?

— Кевін Вермер

@Kevin Він з'явився в контексті розвитку аудіоефекту.

— datageist

Кожен раз, коли мені потрібно написати процедуру функції Ламберта, я зазвичай використовую наближення, наведені в цій роботі, а потім шліфую за допомогою Ньютона-Рафсона, Галлея чи будь-якого іншого ітеративного методу. Ви можете пристосувати цей підхід до інвертування

...

x^{x}

$x^x$

Деякі цифрові удари в темряві давали наступне значення для ітеративного підходу:

Ми шукаємо рішення y = f (x), де y ^ y = x.

y \ln y = \ln x

$y \ln y = \ln x$

y = g (x, y) = e^{\frac{\ln x}{y}}

$y = g(x,y) = e^{\frac{\ln x}{y}}$

Значення для є фіксованою точкою вищевказаного рівняння, і емпірично воно, здається, збігається для деяких значень , але для більших значень воно коливається або розходиться. $y$ $x$ $x$

Тоді я спробував підхід, подібний до ітеративного квадратного кореня Ньютона:

y = \frac{y_{p r e v i o u s} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}

$y = \frac{y_{previous} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}$

де y * повинен представляти неконвертуючу, але оптимістичну відповідь, яка підтримує точність, якщо ви вгадаєте точне початкове значення (у квадратному корені y ² = x, це y * = x / y).

Здається, це сходиться, але дуже повільно в нижньому кінці (біля $x$ ) $x_{min} = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}}$

Також добре виглядає, що початкова здогадка . $y_0 = \ln(x)+1$

Тож я подумав, що, можливо, є краще рішення:

для деякого значення яке є функцією . $y = (1-a) \times y + a \times g(x,y)$ $a$ $x$

Тоді я знайшов щось цікаве.

Якщо я отримаю збіжну відповідь з вищевказаного підходу для , а потім обчислить $y$ $y^y = x$ ,здається, що= приблизно.... наприклад, якби ми мали здогадкудля деякого невідомого, і обчислили, тоді $y_2 = g(x,y+ \epsilon) = e^{\frac{\ln(x)}{y+\epsilon}}$ $y_2-y$ $\epsilon \times (-\ln(y))$ $y_1 = y + \epsilon$ $\epsilon$ $y_2 = g(x,y_1)$ . (Просто для уточнення, у мене немає аналізу, щоб це підтвердити, але цифри просто вискочили з якихось чисельних оцінок, які я виконував.) $(y_2 - y) \approx \epsilon \times (-\ln(y)) = (y_1 - y) \times (-\ln(y))$

Вирішіть для лінійних членів , і ви отримаєте $y$ $y = \dfrac{y_2 + \ln(y) \times y_1}{1 + \ln(y)}$ $\ln(y_1)$ $\ln(y)$

\begin{aligned} y [n + 1] & = \frac{g (x, y [n]) + \ln (y [n]) \times y [n]}{1 + \ln (y [n])} \\ = \frac{e^{\frac{\ln (x)}{y [n]}} + \ln (y [n]) \times y [n]}{1 + \ln (y [n])} \end{aligned}

$\begin{align*} y[n+1] &= \frac{g(x,y[n]) + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])}\\ &= \frac{e^{\frac{\ln(x)}{y[n]}} + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])} \end{align*}$

This appears to work very well, with the initial guess $y = 1+\ln(x)$ , and appears to converge within 4 or 5 iterations.

(Someone could probably show that this is equivalent to Newton-Raphson in some way, but I think it's beyond my capability.)

— Jason S
джерело