Чи чисельніше стабільніше реалізувати фільтрацію як множення чи згортання?

Я пишу програму для фільтрування сигналу зразка 20 000 за допомогою фільтра Баттерворта в п'ятому порядку. У мене є доступ до реалізації FFT. Здається, є дві альтернативи для здійснення фільтрації:

• згортання сигналу з імпульсною реакцією у часовій області, або
• множення сигналу на імпульсну характеристику в частотній області і зворотне перетворення результату

Ці методи були б ідентичними в теоретичному випадку FT. Робити це в реальному житті з DFT, хоча, я гадаю, все інакше. Чи є один із методів чисельніше стійкішим? Чи є якісь інші проблеми, про які я маю знати? Кількість розрахунків не важлива.

З згортанням ви не збираєтеся стикатися з будь-якими проблемами стабільності, оскільки немає рекурсивної фільтрації, тому ви не збираєтеся накопичувати помилки. Іншими словами, у системі всі нулі, ніяких полюсів. Я чув анекдотично, але не підтвердив для себе, що на основі FFT згортання має меншу помилку, ніж згортання часової області, просто тому, що вона має арифметичні операції O (n log n), а не O (n ^ 2).

Як правило, наскільки мені відомо, фільтри Баттерворта реалізуються як рекурсивні (IIR) фільтри, тож це вже інша тема. Фільтри IIR мають полюси, а також нулі, тому на практиці можуть виникнути проблеми зі стабільністю. Крім того, для фільтрів IIR методи, засновані на FFT, не є варіантом, але, в сторону, фільтри IIR, як правило, дуже низькі.

Що стосується проблем стабільності з фільтрами IIR, вони, як правило, мають проблеми при більш високих порядках - я просто викину число і скажу, що приблизно 6-й порядок штовхає його. Натомість вони, як правило, реалізуються як каскадні біквади (секції фільтрів 2-го порядку). Для вашого фільтра 5-го порядку запишіть його як функцію передачі z-домену (це буде раціональна функція 5-го ступеня), а потім розподіліть її на 5 полюсів і 5 нулів. Зберіть складні кон'югати, і у вас буде два біквади та один фільтр першого порядку. Взагалі проблеми стійкості, як правило, вирішуються, коли полюси наближаються до одиничного кола.

Також можуть виникати проблеми із шумовими та обмежувальними циклами у фільтрах IIR, тому існують різні топології фільтрів (тобто пряма форма I, пряма форма II), які мають різні числові властивості, але я б не переосмислював цей момент - просто використовуйте подвійний- точність, і це майже напевно буде досить добре.

Майже у всіх випадках найкращим вибором є ні згортка, ні FFT, а просто застосування фільтра IIR безпосередньо (використовуючи, наприклад, функцію sosfilt ()). Це буде набагато ефективніше з точки зору споживання процесора та пам'яті.

Чи має це чисельна різниця, залежить від конкретного фільтра. Єдиний випадок, коли якась різниця може повзати - це якщо полюси дуже, дуже близькі до одиничного кола. Навіть є кілька хитрощів, які можуть допомогти. НЕ ВИКОРИСТОВУЙТЕ представлення функції передачі та фільтра (), але використовуйте полюси та нулі з допомогою sosfilt (). Ось приклад для різниці.

n = 2^16;  % filter length
fs = 44100; % sample rate
x = zeros(n,1); x(1) = 1;
f0 = 15; % cutoff frequency in Hz
% design with poles and zeroes
[z,p,k] = butter(5,f0*2/fs);
clf
plot(sosfilt(zp2sos(z,p,k),x));
% design with transfer function
[b,a] = butter(5,f0*2/fs);
hold on
plot(filter(b,a,x),'k');

filter () поганий при відсіченні близько 15 Гц при 44,1 кГц. Для sosfilt () обріз може бути набагато нижче 1/100 Гц при 44,1 кГц без проблем.

Якщо у вас є проблеми зі стабільністю, FFT також не дуже допомагає. Оскільки ваш фільтр - це фільтр IIR, імпульсна характеристика нескінченна і її слід спочатку обрізати. На цих дуже низьких частотах імпульсна характеристика стає настільки довгою, що і FFT стає непрактичним.

Наприклад, якщо ви хочете відключити 1/100 Гц при 44,1 кГц і хочете динамічний діапазон в імпульсній реакції 100 дБ, вам потрібно приблизно 25 мільйонів проб !!! Це майже 10 хвилин на 44,1 кГц і багато, багато разів довше, ніж ваш вихідний сигнал

Чому ви гадаєте, що все буде інакше? Теоретичні концепції повинні бути приведені до практичних застосувань, з тією лише різницею, що стосується питань з плаваючою комою, яких ми не можемо уникнути. Ви можете легко перевірити на простому прикладі в MATLAB:

x=randn(5,1);
y=randn(5,1);
X=fft(x,length(x)+length(y)-1);
Y=fft(y,length(x)+length(y)-1);

z1=conv(x,y);z2=ifft(X.*Y);
z1-z2

ans =

   1.0e-15 *

   -0.4441
   -0.6661
         0
   -0.2220
    0.8882
   -0.2220
         0
   -0.4441
    0.8882

Як бачите, помилки є в порядку машинної точності. Не повинно бути причин не використовувати метод FFT. Як зазначав Ендоліт, набагато частіше використовувати підхід FFT для фільтрування / згортання / перехресного співвідношення тощо і набагато швидше, за винятком дуже малих зразків (як у цьому прикладі). Не те, що обробка часових доменів ніколи не робиться ... все зводиться до програми, потреб і обмежень.