"Перетворення Фур'є не може вимірювати дві фази з однаковою частотою". Чому б ні?

15

Я читав, що перетворення Фур'є не може виділити компоненти з однаковою частотою, але різною фазою. Наприклад, у Mathoverflow або xrayphysics , де я отримав заголовок свого запитання: "Перетворення Фур'є не може вимірювати дві фази з однаковою частотою".

Чому це справді математично?

fourier-transform fourier

— Матерія приголомшила
джерело

5

Чи можете ви виділити компоненти, скажімо, ? Б'юсь об заклад, що ви не можете.

\sin (x) + \sin (x + c)

$\sin(x) + \sin(x+c)$

— Ільмарі Каронен

FT знаходить компоненти, які можна було б додати разом для відновлення заданого сигналу. Але це не означає, що ті компоненти якось насправді були присутніми в оригіналі. Існує нескінченно різні способи, щоб даний сигнал міг бути "побудований", але сигнал буде мати лише один унікальний FT.

— Соломон повільно

30

Це тому, що одночасна присутність двох синусоїдальних сигналів з однаковою частотою та різними фазами фактично еквівалентна одному синусоїдальній з тією ж частотою, але з новою фазою та амплітудою, як описано нижче:

Нехай два синусодіальні компоненти підсумовуються так:

x (t) = a \cos (ω_{0} t + ϕ) + b \cos (ω_{0} t + θ)

$x(t) = a \cos(\omega_0 t + \phi) + b \cos(\omega_0 t + \theta)$

Тоді з тригіонометричних маніпуляцій видно, що:

x (t) = A \cos (ω_{0} t + Φ)

$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi)$

де

A = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos (θ - ϕ)}

$A = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2 a b \cos(\theta-\phi) }$ і

Φ = {засмага}^{- 1} (\frac{а гріх (ϕ) + б гріх (θ)}{а \cos (ϕ) + б \cos (θ)})

$\Phi = \tan^{-1}(\frac{ a \sin(\phi) + b\sin(\theta) } { a \cos(\phi) + b\cos(\theta) } )$

отже, ви насправді маєте єдину синусоїдальну форму (з новою фазою та амплітудою), і тому нічого, що відрізняти насправді ...

— Жир32
джерело

1

Мій мозок повинен бути вимкненим, тому що я слідкую за триггерними речами, але все ще плутається непорозуміння. ОП не було дня, коли їх додавали, а що виправдовує початковий крок, коли ви додаєте їх? Іншими словами, якщо ми просто вважаємо їх двома сигналами, коли один починається «пізніше», ніж інший, але вони не додаються, чи можемо ми їх розрізнити? Ви повинні додати їх, оскільки ви не можете мати дві точки даних на одній частоті? Спасибі.

— марка

2

@markleeds, ОП не сказав, що він мав на увазі перетворення вікна Фур'є, а наведені посилання чітко вказують на звичайну версію без вікна. У звичайній версії аналізу Фур'є сигнали приймаються складеними як зважена сума синусоїдалів з різною фазою. Аналіз складається з отримання цих ваг і фаз. Колекція їх - це спектр. Якщо поєднати 2 синусоїди, цей глобальний аналіз Фур'є також не може виділити їх фазу. Однак віконна трансформація Фур'є розрахована на таку роботу ... не те, що вона робить це надзвичайно добре.

— Стефан Карлссон

1

Як підказав мій коментар, додати згадку про перетворену Фур’є вікна могло б бути інформативно. Якщо у @ Fat32 є час, він може згадати про розрив, пов'язаний з об'єднанням 2 синусоїд різної частоти, і чому ми отримуємо діапазон, здавалося б, випадкових частот, доданих до глобальної трансформації фур'є, якщо ми спробуємо проаналізувати це.

— Стефан Карлссон

2

Привіт @markleeds, як Стефан Карлссон уже вказував, питання стосувалося випадку суперпозиції (одночасної присутності адитиву ) цих двох синусоїдалів однакової частоти. Зауважте дуже уважно, що фаза - відносний термін, а не абсолютна; тобто вимірюється стосовно обраного загального (часового) походження, яке є

вище. Конкатенації (як в фазової маніпуляції) дозволяє віконну дискримінацію , але ви все одно повинні ставитися до загального часу походження сказати фазові відмінності в будь-якому випадку. Ось чому для приймачів PSK потрібна сувора синхронізація часу імпульсу ;-)

t = 0

$t=0$

— Fat32

1

@smsc відчуває себе повторенням, але якщо вихід цих двох кабелів буде доданий і потім проаналізований за допомогою FT, ви побачите одну синусоїду з складеною фазою & ampl ... Але якщо ви не додаєте їх і аналізуєте окремо, тоді ви зможете розповісти їх відносні фази ... І це не пов’язано з DFT.

— Fat32

1

Якщо ви читаєте далі, внизу до " Спрощеної версії перетворення Фур'є, про яку ми говорили вище, не можна пояснити фазові зрушення - як насправді це робить перетворення Фур'є?" ви відзначите трохи краще пояснення, вони використовують синуси та косинуси.

" Математика фазових зрушень (на вибір) .

Для того, щоб побачити, як зрушення фази можна розбити на не зміщені синуси та косинуси, нам потрібна тригонометрична тотожність: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( б).

A * sin (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

Як бачите, фазовий зсув переміщує деяку амплітуду (енергію) синусоїдального сигналу в косинусовий сигнал, але частота не змінюється. Якщо ви використовуєте комплексне число уявлення перетворення Фур'є, фазовий зсув просто є поворот значення в комплексній площині, з величиною незмінною. Те, що фазові зсуви рухаються лише за амплітудою від синуса до косинусу, означає, що додавання двох сигналів з однаковою частотою та різною фазою подає сигнал із загальним (середнім) зсувом фази на цій частоті - і немає пам'яті компонентів. "

На практиці це складніше, див. " Часткові методи Фур'є ", " Фазова кон'югована симетрія " та " FOV і k-простір ". У " Вступ до кодування фаз - Я " вони пояснюють:

"... коли дві синусоїди (A і B) з однаковою частотою, але різні фази додаються разом, результатом є інша синусова хвиля з тією ж частотою, але різною фазою. Коли синусоїди близькі між собою у фазі, вони конструктивно втручаються, і коли вони перебувають у фазі, вони руйнівно втручаються.

... Дивлячись лише на їх суму, ви просто бачите синусоїду певної частоти і фази. З цього єдиного спостереження неможливо розібрати індивідуальні внески, внесені хвилями А та В.

Однак, зробивши два спостереження з A і B, зміщеними на різні фази, можна визначити їхній індивідуальний внесок, дивлячись лише на їх суми. Це проілюстровано нижче на зображенні MR, де A і B - два пікселі в одному вертикальному стовпчику, що резонує з однаковою кодованою частотою (ω). Зокрема, на етапі 0 (базовий рівень, коли не застосовується градієнт кодування фаз) загальний сигнал від A&B разом може бути записаний: Отже (t) = A sin ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

...

З цього єдиного вимірювання на етапі 1 ми все ще не знаємо окремих амплітуд A і B, лише їх різницю (A − B). Використовуючи інформацію з кроку 0 та кроку 1 разом, ми можемо витягти унікальний внесок сигналу за допомогою простої алгебри:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A − B)] = A і ½ [Отже - S1] = ½ [(A + B) - (A − B)] = B

".

Інакше це виглядатиме так (зображення A):

PFI, що показує артефакти з різних алгоритмів: (A) основний алгоритм, (B) алгоритм BAX, (C) алгоритм нульового заповнення, (D) основний алгоритм з використанням даних, які мали попередню постійну, лінійну корекцію SDPS, ілюструючи артефакти з SDPS вищого порядку.

— Роб
джерело

1

$c\cos(\omega t+\phi)$ $Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$ $Re$ $c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$ $ae^{\omega t i}$ $Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$ $c e^{\phi i}$ $c$ $\phi$

Отже, хоча обидва сигнали впливають на величину виходу, додатковий сигнал не вплине, де у фазовому просторі знаходиться вихід.

— Накопичення
джерело

1

Я хотів би пройти шлях геометричної версії питання, використовуючи суми кіл.

Синуси і косинуси - це просто "реальна і уявна частина цизоїдів або складні експоненціали (деякі посилання можна знайти в розділі Як пояснити інтуїтивно інтуїтивно складний експонент?" , Тривимірний графік хитання для аналітичного сигналу: штопор Гейзера / спіраль , трансформація Фур'є Особи ).

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$ $\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\omega$

а_{1} с_{ω, ϕ_{1}} (т) + а_{2} с_{ω, ϕ_{2}} (т) ?

$a_1 s_{\omega,\phi_1}(t) +a_2 s_{\omega,\phi_2}(t)\,?$

$a_1$ $a_2$ $e^{2 \pi i\phi_1}$ $e^{2 \pi i\phi_2}$

с_{ω, 0} (т) + а с_{ω, ϕ} (т),

$s_{\omega,0}(t) +a s_{\omega,\phi}(t)\,,$

з $|a|<1$ . Це спрощення можна записати так:

\begin{matrix} (1) & е^{2 π i (ω т)} + а е^{2 π i (ω т + ϕ)} \end{matrix}

$e^{2\pi i (\omega t)}+ae^{2\pi i (\omega t+\phi)}\label{a}\tag{1}$

і таким чином як:

\begin{matrix} (2) & (1 + а е^{2 π i ϕ}) е^{2 π i (ω т)}, \end{matrix}

$(1+ae^{2\pi i\phi})e^{2\pi i (\omega t)}\,,\label{b}\tag{2}$

що є ще одним гармонічним компонентом з однаковою частотою, але різною фазою та амплітудою. Комплексне число $(1+ae^{2\pi i\phi})$ може бути переписаний як $\alpha e^{2\pi i\varphi}$ , з тригонометричними правилами , докладно описаними @ Fat32 (які я міг би детально розглянути пізніше, якщо потрібно). Тепер давайте геометризуємо інтуїцію. Одиничне коло - це рух точки (скажімо кінчика клапана) на ходовому велосипедному колесі. The $a$ -радіус кола - це як маленьке прядильне колесо, прикріплене до клапана (як сині та червоні кола лише на малюнку вгорі). Зараз ми дивимося на рух точки по периметру маленького колеса.

Що задає ваше запитання: якщо кутове обертання малого і великого колеса однакове, ви не можете сказати, чи виникає рух точки внаслідок поєднання руху двох коліс радіусів $1$ і $a$ (з деяким початковим кутом) або з одного більшого колеса (радіуса) $\alpha$ ), з деяким іншим початковим кутом. Це те, що мається на увазі під $\ref{a}$ і $\ref{b}$ .

Іншими словами, ні перетворення Фур'є, ні людське око не можуть виділити компоненти з однаковою частотою, але різною фазою .

[[Я додаю анімацію, якщо знайду час]]

— Лоран Дюваль
джерело