Чи є якесь практичне застосування для виконання подвійного перетворення Фур'є? … Або обернене перетворення Фур'є на вході в часовій області?

У математиці можна взяти подвійну похідну, або подвійний інтеграл функції. Існує багато випадків, коли виконання подвійних похідних моделей є практичною реальною ситуацією, як, наприклад, пошук прискорення об'єкта.

Оскільки перетворення Фур'є приймає як вхідний сигнал реальний або складний сигнал і видає складний сигнал як вихід, ніщо не заважає тобі взяти цей вихід і застосувати перетворення Фур'є вдруге ... Чи є якісь практичні користі для виконання це? Чи допомагає це моделювати деякі складні ситуації в реальному світі?

З тією ж логікою, ніщо не завадить тобі взяти зворотну трансформацію Фур'є свого вихідного вхідного сигналу часової області ... чи це колись буде корисним? Чому чи чому б ні?

"Чи є якесь практичне застосування?" Однозначно так, принаймні для перевірки коду та пов'язаних помилок.

"Теоретично, теорія та практика відповідають. На практиці вони не відповідають". Отже, математично ні, як відповів Метт. Тому що (як уже відповіли), $\mathcal{F}\left(\mathcal{F}\left(x(t)\right)\right)=x(-t)$ (до потенційного коефіцієнта масштабування). Однак він може бути корисним обчислювально, оскільки вищевказане рівняння зазвичай реалізується за допомогою дискретного перетворення Фур'є та його швидкого аватара - FFT.

Перша причина виникає з бажання перевірити, чи реалізація Фур'є, чи кодована вами, кимось іншим чи з бібліотеки, робить те, що повинно бути зроблено з вашими даними. Впорядкування зразків, коефіцієнти масштабування, обмеження типу введення (реальність, бітова глибина) або довжина є джерелами потенційних подальших помилок для реалізацій Фур'є, таких як FFT. Тож як перевірка обґрунтованості завжди добре перевірити, чи реалізовані версії успадковують, принаймні приблизно, теоретичні властивості. Як ви побачите, як показав Machupicchu, ви не відновлюєте точно реальний зворотний вхід: навпаки, уявна частина не є точно нульовою, а реальна частина - це те, що очікувалося, але в межах невеликої відносної помилки через недосконалі комп'ютерні обчислення. (плаваюча точка) в межах машинно залежного допуску. Це видно на наступному малюнку. FFT застосовується двічі на випадковому 32-зразковому сигналі та перевертається. Як бачите, похибка невелика, використовуючи поплавці подвійної точності.

Якщо помилка не є відносно малою, можливо, у використаному коді можуть бути помилки.

Друга стосується величезних обсягів даних або великої кількості ітераційних обчислень FFT, як при томографії. Там попередні невеликі відносні помилки можуть накопичувати та поширюватись і навіть викликати обчислювальну розбіжність або помилки деяких деталей тут . Це видно на наступному малюнку. Для не дуже довгий сигнал $x_0$ ( $1e6$ зразків), ми виконуємо наступні ітерації:

Як бачимо, порядок величини помилки змінився, через розмір сигналу. Плюс до цього, максимальна помилка постійно зростає. Після $1000$ ітерацій він залишається досить малим. Але ви можете здогадатися, що з кубом $1000 \times 1000 \times 1000$ -пікселів та мільйонами ітерацій ця помилка може стати незначною.

Обмеження помилки та оцінка її поведінки за ітераціями може допомогти виявити таку поведінку та зменшити її за допомогою відповідного порогу чи округлення.

Додаткова інформація:

• Накопичення помилки округлої форми у швидких перетвореннях Фур'є
• Аналіз помилок деяких операцій, що беруть участь у швидкій трансформації Фур'є
• Аналіз помилок обертання швидкої трансформації Фур'є

$x(-t)$

Зворотне перетворення Фур'є, застосоване до сигналу часової області, просто дає спектр з частотною інверсією. Подивіться на цю відповідь для отримання більш детальної інформації.

У той час як перетворення Фур'є безпосередньо двічі поспіль просто дає тривіальну тимчасову інверсію , яка була б набагато дешевше реалізувати без FT, там є корисні речі , які можна зробити, взявши перетворення Фур'є, застосовуючи деякі інші операції, а потім знову Фур'є, перетворюючи результат цього. Найвідоміший приклад - автокореляція , яка є своєрідною згорткою сигналу із самим собою. А згортки O ( n ² ), якщо реалізовані наївно, але лише O ( n · log n) при об'їзді через перетворення Фур'є. Таким чином, автокореляція, як правило, здійснюється за допомогою сигналу FT'ing, приймаючи абсолютний квадрат і IFT-ін, що повертається у часову область.

$I$$I(x,y)=z$$x$$y$

https://ch.mathworks.com/help/matlab/ref/fft2.html

Спробуйте це:

x=imread('cameraman.tif');
X=fft2(fft2(x));
imagesc(abs(X));

і порівняйте з:

x=imread('cameraman.tif');
X= ifft2(fft2(x));
imagesc(abs(X));

скоріше так. Я застосував fft2 до разів, а не ifft2 вдруге. Я думаю, що це ілюструє те, що сказав @Matt L.:

"отримання перетворення Фур'є в два рази еквівалентно інверсії часу",

ви можете бачити, що зображення перевернуте через -i уявного негативного, а не позитивного в ifft ().

Я також робив це для 1D сигналу (наприклад, тимчасового):

Для відповіді на друге питання, в цифрового зв'язку існує технологія використовується в мобільних телефонах прямо зараз , що дозволяє ефективно використовувати застосування IFFT в сигнал тимчасової області. OFDM застосовує IFFT до послідовності часових областей даних на передавачі, а потім повертає цю послідовність із FFT на приймачі. Хоча в літературі подобається використовувати IFFT-> FFT, це насправді не має значення, який з них є першим.

Ключова перевага тут сильно пов'язана з відповіддю. Існує тип спотворень, який називається багатошаровим згасанням , і мобільні телефони в густих міських районах повинні мати багато з цим. Нам подобається моделювати багатошаровий вицвітання як згортку з невідомими коефіцієнтами. Оскільки ланцюжок подій виглядає приблизно як IFFT-> Transmit-> Apply multipath-> Receive-> FFT, багатошаровий зникнення пройде через FFT і стане простим множенням по точці з невідомими значеннями. Ці значення набагато простіше передбачити та виправити, ніж коефіцієнти згортки.

Цей ефект також робить сигнал більш стійким до багатошаровості / згасання, що може вивести (або "нуль") весь частотний канал. У цій статті описано, як

Таке багатошлункове поширення може створювати глибокі спектральні нулі в частотній смузі прийнятих радіосигналів через руйнівну інтерференцію двох примірників сигналу, що надходять у дещо інший час. Нуль в OFDM може зняти одне або кілька піднесучих. Цей же нуль у QAM з одною несучою може скинути послідовно сусідні символи, залежно від конкретного шаблону даних у той момент. В крайньому випадку втрата сигналу навіть можлива. Потім воно зменшується до сили FEC відновити початкову послідовність даних.

Ця інформація була надана користувачем "Птахи", але він не мав достатньої репутації, щоб розмістити її сам, тому я опублікую її тут для нього, оскільки вона здається актуальною та корисною.

"Мені не вистачає балів на цьому форумі, щоб додати коментар, тому я роблю це тут: подивіться вихідний код для Accord.Math Hilbert Transform, і ви зрозумієте, чому це може бути життєздатним варіантом: https: //github.com/primaryobjects/Accord.NET/blob/master/Sources/Accord.Math/Transforms/HilbertTransform.cs

Практичне використання включає побудову передавачів SSB або майже будь-який план модуляції. Подивіться на IQ модуляцію, і ви побачите, чому фазовий зсув -90 градусів актуальний. Добуток тригонометричних принципів. наприклад https://user.eng.umd.edu/~tretter/commlab/c6713slides/ch7.pdf

Трансформація Гільберта використовує середній крок між ЗПТ з нулю негативних компонентів. Ви можете зловживати ним і для фільтрації інших частот. "