Як зміна розміру зображення впливає на внутрішню матрицю камери?

У мене є матриця камери (я знаю і внутрішні, і зовнішні параметри), відома за зображення розміру HxW. (Я використовую цю матрицю для деяких потрібних мені розрахунків).

Я хочу використовувати менший образ, скажімо: $\frac{H}{2}\times \frac{W}{2}$ (половина оригіналу). Які зміни потрібно внести до матриці, щоб зберегти те саме відношення?

Я, $K$ як внутрішні параметри, ( $R$ , $T$ обертання та переклад)

$$\text{cam} = K \cdot [R T]$$

$$K = \left( \begin{array}&a_x &0 &u_0\\0 &a_y &v_0 \\ 0 &0 &1\end{array} \right)$$

$K$ 3 * 3, я думавпри множенні$a_x$ ,$a_y$ ,$u_0$ і$v_0$ на 0,5 (коефіцієнт зображення було змінено розмір), але я не впевнений.

Примітка. Це залежить від того, які координати ви використовуєте в розмірі зображення. Я припускаю, що ви використовуєте нульову систему (як C, на відміну від Matlab) і 0 перетворюється на 0. Крім того, я припускаю, що у вас немає перекосу між координатами. Якщо у вас є перекос, його також слід помножити

Коротка відповідь : Припустимо, що ви використовуєте систему координат, у якій $u' = \frac{u}{2} , v' = \frac{v}{2}$ , так, ви повинні помножити$a_x,a_y,u_0,v_0$ на 0,5.

Детальна відповідь Функція, яка перетворює точку $P$ у світових координатах у координати камери $(x,y,z,1)->(u,v,S)$ є:

$$\left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$$

Де $(u,v,S)->(u/S,v/S,1)$ , оскільки координати однорідні.

Коротше кажучи, це можна записати як $u= \frac{m_1 P}{m_3 P} , v = \frac{m_2 P}{m_3 P}$
, де$M$являє собою добуток двох матриць згадувалося вище, а$m_i$є iму рядку матриці$M$. (Продукт скалярний продукт).

Повторне розмір зображення можна подумати:

$$u'=u/2, v'=v/2$$

Таким чином

$$u' = (1/2) \frac {M_1 P} {M_3 P} \\ v' = (1/2) \frac {M_2 P} {M_3 P}$$

Перетворення в матричну форму дає нам:

$$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$$

Який дорівнює

$$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 a_x & 0 & 0.5 u_0 \\ 0 & 0.5 a_y & 0.5 v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$$

For additional information, refer to Forsyth, chapter 3 - Geometric camera calibration.

Andrey mentioned that his solution assumes 0 is transformed to 0. If you are using pixel coordinates this is likely not true when you re-size the image. The only assumption you really need to make is that your image transformation can be represented by a 3x3 matrix (as Andrey demonstrated). To update your camera matrix you can just premultiply it by the matrix representing your image transformation.

[new_camera_matrix] = [image_transform]*[old_camera_matrix]

As an example, say you need to change the resolution of an image by a factor $2^n$ and you are using 0 indexed pixel coordinates. Your coordinates are transformed by the relationships

$x' = 2^n*(x+.5)-.5$

$y' = 2^n*(y+.5)-.5$

this can be represented by the matrix

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

so your final camera matrix would be

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} ax & 0 & u_0 \\ 0 & ay & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$