Чому це погана ідея фільтрувати, обнуляючи нутрощі FFT?

Фільтрувати сигнал дуже просто, виконавши на ньому FFT, знявши на нуль частину бункерів, а потім виконавши IFFT. Наприклад:

t = linspace(0, 1, 256, endpoint=False)
x = sin(2 * pi * 3 * t) + cos(2 * pi * 100 * t)
X = fft(x)
X[64:192] = 0
y = ifft(X)

Компонент високої частоти повністю видаляється цим FFT-фільтром "цегляної стіни".

Але я чув, що це не гарний метод використання.

• Чому це взагалі погана ідея?
• Чи є обставини, за яких це нормально чи вдалий вибір?

[ як пропонують пікенети ]

$\sin(\omega t)/\omega t$

Ці пульсації будуть найбільшими для будь-якого спектрального вмісту, який знаходиться "між бункерами" або не цілим періодичним періодом по ширині діафрагми FFT. Отже, якщо ваші вихідні вхідні дані про FFT - це вікно для будь-яких даних, які дещо неперіодичні у цьому вікні (наприклад, більшість несинхронно відібраних сигналів "реального світу"), то ці конкретні артефакти будуть створюватися нульовими бункерами.

Ще один спосіб подивитися на це, що кожен відрізок FFT представляє певну частоту синусоїди у часовій області. Таким чином, обнулення біна призведе до того ж результату, що і віднімання цієї синусоїди, або, що еквівалентно, додавання синусоїди з точною центральною частотою бін FFT, але з протилежною фазою. Зауважте, що якщо частота деякого вмісту в часовій області не є чисто цілим періодичним періодом у ширині FFT, то спроба скасувати її, додавши зворотну сторону точно цілої періодичної синусоїди, призведе до не тиші, а до щось подібне нота "биття" (синусова хвиля, модульована АМ різної частоти). Знову, напевно, не те, що потрібно.

І навпаки, якщо ваш вихідний сигнал часової області є лише кількома чистими немодульованими синусоїдами, які є точно цілим періодичним періодом у ширині діафрагми FFT, то нульові FFT бункери видалять позначені без артефактів.

Це питання також мене давно бентежить. @ hotpaw2 пояснення добре. Можливо, вам буде цікавий простий експеримент з використанням matlab.

https://poweidsplearningpath.blogspot.com/2019/04/dftidft.html

оновлена ​​інформація.

Щоб перевірити цей факт простий, нам просто потрібно обережно спостерігати за спектром імпульсної реакції ідеального (?) Смугового фільтра, який просто нулює FFT-бункери. Чому потрібно додавати прислівник «обережно»? Якщо ми просто використовувати один і той же розмір FFT , щоб спостерігати реакцію імпульсу, ми будемо обмануті , як показано на рис 1 . Проте, якщо ми додамо порядок ДПФ при спостереженні вихідного фільтра, тобто доповнення нулями імпульсної характеристики, можна знайти так зване явище Гіббса, пульсації в частотної області, як показано на рис 2 .

Результати насправді є результатом віконного ефекту. Якщо ви хочете повністю зрозуміти проблему, зверніться до розділу 7.6 та глави 10.1-10.2 Біблії DSP (1). Підводячи підсумок, тут відзначаються три ключові моменти.

1. Розмір вікна та порядок DFT (FFT) абсолютно незалежні. Не змішуйте їх разом.
2. Властивості вікна (тип / розмір) переважають у формі DTFT. (напр., ширша головна доля призводить до ширшої перехідної смуги в частотній характеристиці.)
3. DFT - це лише вибірка DTFT в частотній області. Більше того, чим вище порядок DFT, тим щільніше спектр DFT.

Отже, за допомогою більш щільного спектру на рис. 2 ми можемо побачити крізь маску ідеального (фальшивого) смугового фільтра.

Обманливо частота. Відповідь.

Явище Гіббса в Freq. Відповідь.

(1) Алан В. Оппенхайм та Рональд Ш. Шафер. 2009. Дискретна обробка сигналу часу (3-е видання). Пренсіс Холл Прес, Верхнє сідло, річка Нью-Джерсі, США.

fps = 15;

LPF = 1;
HPF = 2;

n = -511:512;
n0 = 0;
imp = (n==n0);

NyquistF = 1/2*fps;

%% Ideal BPF
tmp_N = 512;
tmp_n = 0:1:tmp_N-1;
freq = ( n .* fps) ./ tmp_N;
F = fft(imp, tmp_N);  
F_bpf = IdealBandpassFilter(F, fps, LPF, HPF);
imp_rep =[real(ifft(F_bpf))'];

% Zero padding.
imp_rep2 =[zeros(1,2048) real(ifft(F_bpf))' zeros(1,2048)];

N = 2^nextpow2(length(imp_rep));
F = fft(imp_rep,N);
freq_step = fps/N;
freq = -fps/2:freq_step:fps/2-freq_step;
freq = freq(N/2+1:end)';

figure;
plot(freq,abs(F(1:N/2)));
xlabel('freq(Hz)');
ylabel('mag');
title('Mis leading Freq Response');


N = 2^nextpow2(length(imp_rep2));
F = fft(imp_rep2,N);
freq_step = fps/N;
freq = -fps/2:freq_step:fps/2-freq_step;
freq = freq(N/2+1:end)';

figure;
plot(freq,abs(F(1:N/2)));
xlabel('freq(Hz)');
ylabel('mag');
title('Zero Padding (DFT) with more points');

%% Function
function filered_signal = IdealBandpassFilter(input_signal, fs, w1, w2)

    N = length(input_signal);
    n = 0:1:N-1;
    freq = ( n .* fs) ./ N;

    filered_signal = zeros(N, 1);

    for i = 1:N
        if freq(i) > w1 & freq(i) < w2
            filered_signal(i) = input_signal(i);
        end

    end
end

FFT дає низьку часову роздільну здатність, тобто не дає інформації, в який час існує конкретна частота. Він дає інформацію про існуючі частотні компоненти за задану тривалість сигналу.

Шляхом обнулення бункерів у FFT дає слабке дозвіл після IFFT у часовій області.