Які дані слід використовувати для тестування впровадження FFT, і яку точність слід очікувати?

Я беру участь у намаганні впровадити алгоритм FFT, і мені цікаво, що рекомендується порада для використання вхідних тестових даних - і чому! - і якої точності очікувати.

Щодо тестових матеріалів, я знайшов невеликі вказівки в старих публікаціях Usenet, які я опублікую як відповідь, але це лише пропозиції однієї людини без великого обґрунтування - я не знайшов нічого, що виглядало б як суцільна відповідь.

Щодо точності, Вікіпедія говорить, що помилка повинна бути O (e log N), але в чому абсолютне очікування?

Редагувати, щоб додати: Фактичні тести знаходяться у формі, де я зберігав масиви вхідних даних та попередньо обчислювані "посилання" вихідних даних для порівняння, тому мені не обов'язково потрібно щось із рішенням закритої форми.

Якщо ви хочете перевірити алгоритм FFT на правильність , у тому сенсі, що він виконує бажану функцію, яка має відомі властивості дискретного перетворення Фур'є , то ви можете використовувати підхід, запропонований у:

Ергун, Фунда. (1995, червень). Тестування багатоваріантних лінійних функцій: Подолання вузького місця вуглецю. У Зб. Двадцять сьома Енн. ACM Symp. Теорія обчислень . (стор. 407–416).

Вищенаведений документ посилається виробниками FFTW як їх метод вибору для перевірки того, що конкретна реалізація FFT виконує те, що повинна. Запропонована методика розбиває функцію на три основні компоненти, які перевіряються окремими тестами:

• Лінійність: DFT (разом з іншими перетвореннями родичів у сімействі Фур'є) є лінійним оператором , тому для всіх значень має виконуватися таке рівняння:$a_1, a_2, x_1[n], x_2[n]$

• DFT одиничного імпульсу: Сигнал часової області, рівний функції дельти Kronecker, застосовується до входу алгоритму FFT і вихід перевіряється відповідно до відомого DFT функції одиничного імпульсу (він перетворюється на постійне значення у всьому виході бункери). Якщо алгоритм FFT забезпечує IFFT, його можна перевірити в зворотному порядку, щоб показати, що він знову дає функцію одиничного імпульсу.

• Зсув у часі: до вводу алгоритму FFT застосовуються два набори даних; Єдина відмінність між двома в часовій області - це постійний зсув часу. Виходячи з відомих властивостей DFT, це повинно впливати на відомий лінійний зсув фази між представленнями частоти домену двох сигналів, де нахил фазового зсуву пропорційний часовому зсуву.

Автори статті стверджують, що цих тестів достатньо для підтвердження правильності впровадження FFT. Раніше я не використовував цю методику, але це, мабуть, має сенс, і я би довіряв авторам FFTW (які створили чудовий фрагмент вільного програмного забезпечення) як надійним авторитетам щодо хороших підходів до проблеми перевірки.

Як уже згадувалося в запитанні, я знайшов один набір пропозицій в заархівованих публікаціях Use.dsp Usenet ( http://www.dsprelated.com/showmessage/71595/1.php , повідомлення від "tdillon"):

A.Single FFT tests - N inputs and N outputs
 1.Input random data
 2.Inputs are all zeros
 3.Inputs are all ones (or some other nonzero value)
 4.Inputs alternate between +1 and -1.
 5.Input is e^(8*j*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1. (j = sqrt(-1))
 6.Input is cos(8*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1.
 7.Input is e^((43/7)*j*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1. (j = sqrt(-1))
 8.Input is cos((43/7)*2*pi*i/N) for i = 0,1,2, ...,N-1.

B.Multi FFT tests - run continuous sets of random data
 1.Data sets start at times 0, N, 2N, 3N, 4N, ....
 2.Data sets start at times 0, N+1, 2N+2, 3N+3, 4N+4, ....

Нитка також пропонує зробити два синуси, один з великою амплітудою і один з малою амплітудою.

Як я кажу в головному запитанні, я не впевнений, чи це особливо хороший набір відповідей, чи він дуже повний, але я вказую тут, щоб люди могли голосувати і коментувати його.