Інтерпретація власних значень зворотного Гессіана в трекері KLT

Я студент-майстер, готую семінар з комп’ютерного зору. Серед тем - трекер Канаде-Лукас-Томасі (KLT), як описано в

Дж. Ши, К. Томасі, "Хороші риси для відстеження" . Праці CVPR '94.

Ось веб-ресурс, який я використовую для розуміння трекера KLT. Мені потрібна допомога з математики, оскільки я трохи іржавий у лінійній алгебрі і не маю попереднього досвіду роботи з комп’ютерним зором.

У цій формулі для (крок 5 в резюме) відзначте зворотний гессіан: $\Delta p$

Δ p = H^{- 1} Σ_{x} {[\nabla I \frac{\partial W}{\partial p}]}^{T} [T (x) - I (W (x; p))]

$\Delta p = H^{-1}\Sigma_x\left[\nabla I \frac{\partial W}{\partial p}\right]^\mathsf{T} \left[T(x) − I(W(x; p))\right]$

У статті хороші характеристики для відстеження визначаються як ті, де сума зворотних матриць Гессі має великі, подібні власні значення: . Я не зміг зрозуміти, як і звідки це походить математично. $\min(\lambda_1,\lambda_2)>threshold$

Інтуїція полягає в тому, що це являє собою куточок; Зроби це. Що це стосується власних цінностей? Я очікую, що якщо значення Гессі є низькими, змін не буде, і це не кут. Якщо вони високі, це куточок. Хто-небудь знає, як інтуїція кутовика грає в власних значеннях зворотного Гессіана, щоб визначити $\Delta p$ через ітерації трекера KLT?

Мені вдалося знайти ресурси, які стверджують, що обернена Гессіана відповідає матриці коваріації зображення. Крім того, коваріація зображення вказує на зміну інтенсивності, і тоді це має сенс ... але я не зміг знайти, що саме є матрицею коваріації зображення щодо зображення, а не вектора чи колекції зображень.

Також власне значення мають значення в принциповому аналізі компонентів, саме тому я отримую ідею щодо матриці коваріації зображень, але я не впевнений, як застосувати це до гессіанців, оскільки це зазвичай застосовується до зображення. Наскільки я розумію, Гессіан є матрицею, що визначає 2-й похідні для , та у певному місці . $2\times 2$ $x$ $y$ $xy$ $(x,y)$

Я б дуже вдячний за допомогу в цьому, оскільки я працював на цьому 3+ дні, це лише одна невелика формула і час закінчується.

computer-vision

— Лорем Іпсум
джерело

ОК, я майже все це отримав через безліч веб-ресурсів, що стосуються основної кривизни, диференціальної геоматрії, номера умови матриці (добре обумовлена матриця). мені ще потрібно сформулювати розумне пояснення семінару. як тільки у мене є, я або опублікую його тут, або зв’яжу цю сторінку на семінарі.

Розгляньте їх як двовимірні умови гладкості.
Чим плавніше виправлення, тим нижчий ранг матриці і наближення матриці до сингулярності.

На прямому краї (а не на куті) просто одне власне значення буде великим.
На куті обидва будуть великими.

Використання власних значень означає, що кут ребра не є фактором, і під будь-яким кутом ребро дасть лише одну велику ев

— Аді Шавіт
джерело

Спасибі за вашу відповідь. Я знайшов багато ресурсів, що дають подібні інтуїції та обговорюють проблему діафрагми. інтуїція є і була зрозумілою. моє запитання мало більш математичний характер, і як тільки я знайшов відповідь, виявляється, це було набагато простіше. просто основні властивості матриці. подібні власні значення означають, що матриця добре обумовлена, а максимальне власне значення обмежене, тому надання нижньої межі робить власні значення подібними. далі, власне значення співвідносяться з головними кривизнами для гессіану. це та інформація, яку я шукав у той час.

Я перечитав вашу відповідь, і я знайшов коментар, що стосується власних значень та кута, проникливим. дякую, що поділилися цим зі мною.

Тоді слід позначити його як "Відповідь".

— Аді Шавіт