Яке найяскравіше, інтуїтивніше пояснення для різних FT

30

Навіть вивчивши їх досить десь, я, як правило, забуваю [якщо я на деякий час не контактую] про те, як вони пов'язані один з одним і що означає ", оскільки вони мають такі схожі звукові назви]. Я сподіваюся, що ви придумаєте настільки інтуїтивне та математично красиве пояснення, що вони вбудуються в мою пам’ять назавжди, і ця нитка буде служити надзвичайно швидким оновленням, коли мені [чи комусь іншому] це потрібно.

fourier-transform

— Вігнеш
джерело

2

Напевно, слід почати з серії Фур'є

— ендоліт

Ви знайомі з подвійністю Понтрягіна?

— Lorem Ipsum

@yoda - Ні. Чи можете ви, будь ласка, докладно розібратися чи вказати мені на якісь хороші посилання? [Я, звичайно, вийду з Google.]

— Vighnesh

1

"Steve on Processing Image": Фур'є перетворює адреси саме цього питання.

— nobar

Я не можу коли переписувати відповідь тут (якщо цього не потрібно). Однак можлива відповідь дана в тому, чи можу я вивчити постійну трансформацію Фур'є та розглядаю решту як особливі випадки, що слідують сліду про подвійність Понтрягіна, запропонований @LoremIpsum

— Laurent Duval

24

Я написав цей роздатковий матеріал як доповнення до Оппенгайма та Вілського . Будь ласка, подивіться таблицю 4.1 на сторінці 14, відтворену нижче. (Клацніть для збільшення зображення.) Я написав цю таблицю спеціально для відповіді на такі питання, як ваше.

Зверніть увагу на подібність та відмінності між чотирма операціями:

"Серія": періодична в часі, дискретна за частотою
"Трансформація": аперіодична в часі, безперервна за частотою
"Постійний час": безперервний у часі, аперіодичний за частотою
"Дискретний час": дискретний у часі, періодичний за частотою

Сподіваюся, ви знайдете ці замітки корисними! Будь ласка, не соромтеся розповсюджувати за своїм бажанням.

— Стів Тьоа
джерело

1

Гарне резюме. Зауважимо, що "Дискретна серія Фур'є з часом", на яку посилається у таблиці вище, зазвичай називається дискретним перетворенням Фур'є (DFT).

— Джейсон R

Щоб трохи померти, ця відповідь - це справді хороший підсумок, як каже Джейсон Р., і те, що варто постійно мати на dsp.SE, щоб усі могли посилатися на це для подальшого ознайомлення, але він не дуже відповідає на запитання, яке задали для інтуїтивного пояснення цих питань (lucidity, імовірно, є додатковим бонусом і не є абсолютно відкоригованим, оскільки це згадується в заголовку, але не в тексті запитання).

— Діліп Сарват

2

Чудова відповідь Стіва - я вважаю, що саме це шукає ОП. Короткий, милий, і до речі.

— Спейсі

Це помилка в різній частині сторінки 2 вашої роздачі? Зазначено:

. Хіба це не означало

?

x (t) b (t - t_{0}) = x (t_{0}) b (t - t_{0})

$x(t)b(t-t_0)=x(t_0)b(t-t_0)$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) b (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)b(t-t_0)dt = x(t_0)$

— mbaitoff

1

Не помилка. Обидва ваші твердження вірні, але я мав намір написати перше, тому що в цьому розділі посібника описано основні, аксіоматичні визначення одиничного імпульсу. Потім друге твердження виходить із цих визначень:

.

\int_{\infty}^{\infty} x (t) δ (t - t_{0}) d t = \int_{\infty}^{\infty} x (t_{0}) δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0}) \int_{\infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-t_0) dt = \int_{\infty}^{\infty} x(t_0)\delta(t-t_0) dt = x(t_0) \int_{\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) dt = x(t_0)$

— Стів Тьоа

9

Для чіткого і правильного пояснення цих понять вам доведеться пройти деякі стандартні підручники (Оппенхайм-Шафер, Проакіс-Манолакіс або "Розуміння цифрової обробки сигналів" Річарда Ліона, що є дуже хорошою, але порівняно менш популярною книгою) . Але, беручи до уваги дискусію за журнальним столом, я буду робити вкрай неохайні твердження у подальшому. :)

Для загального сигналу безперервного часу ви не очікуєте, що будь-яка конкретна частота відсутня, тому його перетворення Фур'є (або неперервна трансформація Фур'є) буде суцільною кривою з підтримкою, можливо, від + до + інф.

Для періодичного безперервного сигналу (період Т) Фур'є виражав сигнал у вигляді комбінації синусів та косинусів, що мають однаковий період (Т, Т / 2, Т / 3, Т / 4, ...). Ефективно, спектр цього сигналу - це ряд шипів у місцях 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... Це називається представленням серії Фур'є. Існує теорема, яка говорить про те, що представлення ряду Фур'є будь-якого періодичного сигналу безперервного часу перетворюється на сигнал, якщо ви включаєте все більше і більше синусів і косинусів (або складних експоненцій) в середньому квадратному сенсі.

Моральний поки що: періодичність у часі => гострий спектр

Увімкнення дискретного часу ... Що станеться, якщо ви відібрали сигнал безперервного часу? Повинно бути зрозуміло, що за досить високого сигналу ви не зможете реконструювати сигнал. Якщо не робити припущення про частоти в сигналі, то з огляду на дискретизований сигнал, ви не можете сказати, що таке справжній сигнал. Іншими словами, різні частоти представлені рівномірно в сигналі дискретного часу. Проходячи деяку математику, ви говорите про те, що ви можете отримати спектр вибіркового сигналу з вихідного безперервного сигналу. Як? Ви зміщуєте спектр сигналу безперервного часу на величини + -1 / T, + -2 / T, ... і додаєте всі зміщені копії (з деяким масштабуванням). Це дає вам безперервний спектр, періодичний з періодом 1 / Т. (зверніть увагу: спектр є періодичним в результаті вибірки в часі, часовий сигнал не ' t повинен бути періодичним) Оскільки спектр є безперервним, ви також можете його представити лише одним із його періодів. Це DTFT ("дискретний час" перетворення Фур'є). У випадку, коли ваш вихідний сигнал безперервного часу має частоти не вище + -1 / 2T, зміщені копії спектра не перетинаються, а значить, ви можете відновити вихідний сигнал безперервного часу, вибравши один період спектру ( теорема відбору проб Найкіста).

Ще один спосіб запам'ятати: гострий часовий сигнал => періодичність у спектрі

Що станеться, якщо ви відібраєте безперервний періодичний сигнал із періодом вибірки T / k на деякий k? Добре, що спектр сигналу безперервного часу був гострим до, і відбір його деяким дільником T означає, що шипи в зміщених копіях падають точно на кратні 1 / T, тому отриманий спектр є гострим періодичним спектром . гострий періодичний сигнал часу <=> гострий періодичний спектр (якщо припустити, що період та частота вибірки "добре пов'язані", як зазначено вище). Це те, що відомо як DFT (дискретна трансформація Фур'є). FFT (швидка трансформація Фур'є) - це клас алгоритмів для ефективного обчислення DFT.

Спосіб виклику DFT полягає в наступному: Скажіть, що ви хочете вчасно проаналізувати послідовність з N вибірок. Ви можете взяти DTFT і мати справу з одним з його періодів, але якщо ви вважаєте, що ваш сигнал періодичний з періодом N, то DTFT зменшується до DFT, і у вас є лише N зразків одного періоду DTFT, які повністю характеризують сигнал. Ви можете вчасно затримати сигнал, щоб отримати більш точну вибірку спектру та (ще багато таких властивостей).

Все вищезазначене корисно лише в тому випадку, якщо супроводжується дослідженням ДСП. Наведене - лише деякі дуже грубі вказівки.

— rk2
джерело

7

Нехай позначає обмежену функцію з періодом , тобто для всіх дійсних чисел , . Як особливий приклад, є такою функцією. Ми хочемо знайти «найкраще» наближення для цієї функції, де ми хочемо вибрати коефіцієнт $x(t)$ $T$ $t$ $x(t+T) = x(t)$ $\cos(2\pi t/T)$ $a_n\cos(2\pi nt/T)$ $a_n$ так що квадрат помилкинастільки малийнаскількиможливо. Розширюючи інтеграл, ми маємо

\int_{0}^{T} (x (t) - a_{n} \cos (2 π n t / T))^{2} d t,

$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$

Найменший лівий інтеграл - це енергія

подається на один період

тоді як правий інтеграл має значення

і тому ми бачимо, що

squared error = \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \int_{0}^{T} \cos^{2} (2 π n t / T) d t .

$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

E

$E$

x (t)

$x(t)$

T / 2

$T/2$

Тепер. для

квадратична функція

має мінімум при

(посередині між корінням

squared error = E - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \frac{T}{2} .

$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$

a > 0

$a > 0$

a z^{2} + b z + c

$az^2 + bz + c$

z = - b / 2 a

$z = -b/2a$

!!)і тому, такми висловиливигляді квадратичної помилки квадратичної функції

, вибір

що зводитьмінімуму квадрат помилки

(- b / 2 a) \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} / 2 a

$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$

a_{n}

$a_n$

a_{n}

$a_n$

Аналогічно, вибираючи

як

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t .

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

b_{n}

$b_n$

мінімізує помилку квадрата між

та

. Таким чином, ми бачимо, що ряд Фур'є - це не що інше, як дешевий трюк, щоб знайти наближення мінімальної квадратичної помилки до періодичної функції

з точки зору синусоїдних і косинусних сигналів того ж періоду та їх гармонік.

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \sin (2 π n t / T) d t

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$

x (t)

$x(t)$

b_{n} \sin (2 π n t / T)

$b_n\sin(2\pi nt/T)$

x (t)

$x(t)$

— Діліп Сарват
джерело

4

Ендоліт правильний у тому, що якщо ви насправді починаєте з серії Фур'є і бачите, як він поширюється на трансформацію Фур'є, тоді все починає мати багато сенсу. Я даю коротке пояснення цього в першій половині цієї відповіді .

Хороший (можливо, не простий) спосіб поглянути на сімейство перетворень Фур'є (під якими я маю на увазі 4, які ви перераховували вище) - це окуляри подвійності Понтрягіна . Це дає вам гарний спосіб запам'ятати різні перетворення за оригінальними та перетвореними доменами.

$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

$n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\mathbb{T}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{T}$

Ця відповідь не є повною, і я, можливо, будувати цю відповідь, щоб зробити кілька ясних моментів, коли у мене буде час, але до цього часу це може бути щось жувати, поки ви не отримаєте інтуїтивніше пояснення від когось іншого. Спробуйте також прочитати варіанти аналізу Фур’є у Вікіпедії.

— Лорем Іпсум
джерело

3

Я думаю, що найголовніше - це принципово зрозуміти, навіщо нам потрібні перетворення Фур'є. Вони є одним із багатьох можливих перетворень сигналу, але також є одним із найкорисніших. Перетворення в основному перетворює сигнал в інший домен, що може дати нам уявлення про сигнал у цьому домені, або, можливо, що домен математично простий у роботі. Після того, як ми закінчимо роботу в цьому домені, ми можемо зробити зворотну трансформацію, щоб легше дістатися до бажаного результату.

Найбільш базовим складовим елементом у теорії фур'є є монотони (синуси та косинуси). Ми можемо розкласти сигнал на його частотні компоненти (монотони), використовуючи математику фур’є. Отже, перетворення Фур'є в основному перетворює сигнал з часової області в домен фреккету. Коефіцієнт кожного з монотонів у ряді фур'є говорить нам про силу цього частотного компонента в сигналі. Перетворення Фур'є (CFT, DFT) явно дає нам перегляд частотної області сигналу. У природі синуси та косинуси є визначними формами хвиль. Синтетичні сигнали, такі як квадратна хвиля, або сигнали, що мають різкі коливання, рідше виникають природним шляхом і не дивно складають нескінченний діапазон частот, як це дуже чітко пояснюється перетвореннями фур'є. У людей були сумніви в тому, чи можна подавати якийсь сигнал як суму синусів / косинусів. Фур'є показав квадратну форму хвилі (яка далека від синусів / косинусів). Білий шум містить усі частоти з однаковою силою.

Крім того, якщо ви працюєте з рядами фур'є, то коефіцієнти разом із фазовим терміном можна розглядати як такі, що потрібні для правильного накладання складових синосоїдальних форм хвиль, щоб суперпозиція справді був необхідним сигналом, з якого ви приймаєте перетворення. Працюючи з перетвореннями Фур'є, складні числа неявно мають фазові умови і необхідну величину кожного з монотонів. (інтеграція приблизно схожа на підсумовування. безперервна => інтеграція, дискретна => підсумовування)

Я думаю, що коли ти зрозумієш тему концепції, відпочинок - це лише деталі, які ти сам повинен будеш зрозуміти, читаючи книги. Читання про застосування перетворень фур'є в різних областях дасть вам кращу сприйняття.

— абхишек
джерело

2

DFT - це перетворення вектора пар чисел з одного ортогонального простору в інший. Дуже часто робиться як чисельне обчислення. Чомусь, приймаючи одну купу чисел із реального світу, 2-я група чисел часто виявляється достатньо близькою до чогось цілком корисного.

Мені нагадують про Нерозумну ефективність математики в природничих науках , особливо щодо застосування ДФТ у багатьох системах, здається, наближеними різними видами диференціального рівняння 2-го ступеня, навіть звуком кавової ложки, яку я щойно скинув.

Інші 3 XYZ-FT роблять припущення про існування деяких міфічних нескінченних утворень, щоб допомогти символічним рішенням поміститися на дошці до того, як кава стане занадто холодною. Вони є «сферичними коровами» обробки сигналів. Серії DTFT і Фур'є роблять вигляд, що один вектор можна розширювати нескінченно за рахунок нескінченної щільності іншої сутності. Серія Фур'є робить вигляд, що обидва об'єкти можуть бути нескінченними безперервними функціями.

Візьміть достатню кількість математичних курсів, і навіть можна визначити всі визначення та припущення, необхідні для того, щоб зробити ці вигадані сутності точними та завершеними дуалами в якомусь сенсі.

— гаряча лапа2
джерело

Що означає «ортогональний простір» у першому реченні? Що таке простір ортогонального до , або те , що особливу властивість робить простір їсть , що ви відрізняє його від інших пересічних просторів, подарувавши на нього прикметник «прямокутний»?

— Діліп Сарват

Може бути, "ортонормальний" правильніший термін для векторних просторів?

— hotpaw2

x

$\mathbf x$

y

$\mathbf y$

⟨ x, y ⟩ = 0

$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=0$ ортонормальність вимагає, крім того, що вектори мають одиничну довжину. Матриця

A

$A$ називається ортогональним, якщо

A A^{T}

$AA^T$ є діагональною матрицею і ортонормальною, якщо

A A^{T}

$AA^T$ є матрицею ідентичності. Чи означає ортогональний або ортонормальний простір, що всі вектори в просторі ортогональні один одному або ортогональні і мають одиничну довжину? Якщо так, чи можете ви навести приклад такого простору?

— Діліп Сарват

Точковий добуток між усіма синусами або косинусами, які точно періодичні в діафрагмі DFT, дорівнює нулю, за винятком ідентичних функцій частоти. Навіть якщо N більше, ніж кількість кавових зерен у мішку. Зробіть їх амплітудою одиниць для ортонормальних.

— hotpaw2

Ваш простір - це простір

N

$N$ -вектори складних чисел (оскільки ви сказали "вектори пар чисел"). Там немає жодного синусів і косинусів в просторі, тільки

N

$N$ -комплекси складних чисел та будь-який ортогональний чи ортонормальний набір таких

N

$N$ -вектори можуть містити не більше

N

$N$ таких

N

$N$ -tuples. I would recommend deleting your comment above, and possibly even your whole answer.

— Dilip Sarwate

Яке найяскравіше, інтуїтивніше пояснення для різних FT - CFT, DFT, DTFT та Fourier Series?