"Комплексний відбір проб" може зламати Nyquist?

Я чув анекдотично, що складні сигнали вибірки не повинні відповідати частотам дискретизації Nyquist, але насправді можна відмовитися від половини частот дискретизації Nyquist. Мені цікаво, чи є в цьому правда?

З Nyquist ми знаємо, що для того, щоб однозначно вибирати сигнал, нам потрібно відібрати вибірки принаймні вище, ніж подвоїти пропускну здатність цього сигналу. (Я тут визначаю пропускну здатність, як це робиться у вікі- посиланні, так само, зайнятість позитивної частоти). Іншими словами, якщо мій сигнал існує від -B до B, мені потрібно взяти вибірку принаймні> 2 * B, щоб задовольнити нейквіст. Якщо я змішував цей сигнал до fc, і хотів зробити смуговий вибірки, мені потрібно взяти вибірку принаймні> 4 * B.

Це все чудово для реальних сигналів.

Моє запитання: чи є правда у твердженні, що складний сигнал базової смуги (він же, який існує лише на одній стороні частотного спектру) не потрібно вибирати зі швидкістю принаймні> 2 * B, але насправді може бути адекватною вибіркою зі швидкістю принаймні> B?

(Я схильний вважати, що якщо це так, то це просто семантика, тому що ви все-таки повинні взяти два зразки (один реальний і один уявний) за час вибірки, щоб повністю представити обертовий фазор, тим самим суворо дотримуючись Nyquist. .)

Які ваші думки?

Ваше розуміння правильне. Якщо ви здійснюєте вибірку зі швидкістю , то лише з реальними вибірками ви можете однозначно представляти вміст частоти в регіоні (хоча застереження, що дозволяє відбирати смуги пропускання, все ще застосовується). Жодна додаткова інформація не може бути збережена в іншій половині спектру, коли вибірки реальні, оскільки реальні сигнали виявляють сполучену симетрію в частотній області; якщо ваш сигнал справжній, і ви знаєте його спектр від до , то ви можете тривіально зробити висновок, яка інша половина його спектру. [ 0 , f $f_s$0f$[0, \frac{f_s}{2})$$0$$\frac{f_s}{2}$

Не існує такого обмеження для складних сигналів, тому складний сигнал, відібраний зі швидкістю може однозначно містити вміст від до (для загальної пропускної здатності ). Як ви зауважили, однак, тут не має бути властивого підвищення ефективності, оскільки кожен складний зразок містить два компоненти (реальний і уявний), тому хоча вам потрібно вдвічі більше зразків, кожен вимагає вдвічі більше обсягу зберігання даних, який скасовується будь-яка негайна вигода. Складні сигнали часто використовуються при обробці сигналів, проте у вас виникають проблеми, які добре відображають цю структуру (наприклад, у системах квадратурного зв'язку). - f $f_s$ ф$-\frac{f_s}{2}$ ф$\frac{f_s}{2}$$f_s$

Існує також простий підхід, щоб пояснити це: Якщо у вас реальний сигнал базової смуги має спектр від -B до + B, ви відбираєте вибірку з 2B, тож переконайтеся, що спектральні повтори спектру не перетинаються. Перекриття означатиме, що ви отримаєте згладжування і не зможете відновити вихідний спектр.

Тепер із складним сигналом спектр коливається, як згадував Джейсон, від 0 до Б. (теоретично він також може мати спектр на негативних частотах, але для більшості практичних випадків він буде становити від 0 до Б.). швидкість B, оскільки в початковому спектрі немає частин на негативних частотах, повтори спектра не будуть перетинатися -> можлива однозначна реконструкція!

Я б сказав, що це кваліфіковане "Ні", в тому сенсі, що кількість реальних зразків не було уточнено належним чином, а також мета вибору швидкості оцифрування сигналу.

По-перше, всі сигнали реального світу - реальні, а не складні. Тобто, щоразу, коли ми стикаємося зі складним представленням, ми насправді маємо дві (реальні) точки даних, які слід враховувати до межі "Найквіста".

Другий випуск - "негативні частоти", як це сприймається з базової смуги. Практично все навчання вибірки відбувається з точки зору базової смуги, тому частоти мають тенденцію до 0..B, яка потім відбирається в Fs. Негативні частоти начебто ігноруються (використовуючи складну спряжену ідентичність).

Можна вважати сигнал базової смуги так, ніби він модулюється на нульовій частоті, однак запуск модуляції несучої в номінальній точці fs / 2 може бути освітленим, як ми бачимо дві бічні смуги і (математичний) складний термін від перевізник. Раніше негативна частота змістилася. І ми можемо більше не мати складної сполученої ідентичності.

Якщо складну тотожність кон'югату було усунуто, у нас більше немає частоти складання, і ми маємо просте обертання навколо псевдоніму.

Отже, якщо у нас відбирається реальний сигнал ВЧ для забезпечення демодуляції складного подання, без складання, ми в деякому сенсі закінчуємо пропускну здатність fs / 4 (+/- B). Для кожні 4 вибірки даних (0, 90, 180, 270 град) ми виводимо два значення, що представляють собою фазову (0 - 180) та квадратурну (90 - 270) компоненти загальної складної вибірки.

У повністю складному світі, якщо сигнал складний, частота дискретизації є складною, в результаті чого вдвічі більше термінів. Це залежить від того, які математичні особливості вам потрібні для вибіркового сигналу.