Чому трансформація Фур'є настільки важлива?

129

Усі обговорюють перетворення Фур'є, коли обговорюють обробку сигналів. Чому так важливо обробляти сигнали і що це говорить нам про сигнал?

Чи застосовується це лише до цифрової обробки сигналів чи це стосується і аналогових сигналів?

fourier-transform

— jcolebrand
джерело

10

Нещодавно дискусія про перетворення Фур'є відродилася на math.SE, і я подумав, що люди на цьому веб-сайті можуть знайти щось варте і навіть захотіти взяти участь.

— Діліп Сарват

1

пор. ця відповідь для чудового історичного походження. Серія Фур'є датується принаймні так само, як і епіциклічна астрономія Птолемея . Якщо додати більше ексцентриків та епіциклів, подібних до додавання більшої кількості термінів до серії Фур’є, можна пояснити будь-який безперервний рух об'єкта в небі.

— Геремія

144

Це досить широке питання, і насправді досить важко визначити, чому саме перетворення Фур'є важливі при обробці сигналу. Найпростіший відповідь, що махає рукою, - це надзвичайно потужний математичний інструмент, який дозволяє переглядати сигнали в іншій області, всередині якої декілька складних проблем стає дуже простими для аналізу.

Його повсюдність майже в усіх галузях інженерних та фізичних наук, все з різних причин, робить все складніше звузити причину. Я сподіваюся, що перегляд деяких його властивостей, які призвели до його широкого прийняття разом з деякими практичними прикладами та штрихом історії, може допомогти зрозуміти її значення.

Історія:

Щоб зрозуміти важливість трансформації Фур'є, важливо трохи відступити і оцінити силу серії Фур'є, висунуту Джозефом Фур'є. У оболонці з горіхом будь-яка періодична функція інтегрується в домен може бути записана як нескінченна сума синусів і косинусів як $g(x)$ $\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} τ_{k} e^{ȷ k x}

$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$

τ_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{D} g (x) e^{- ȷ k x} d x

$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$

де . Думка про те, що функція може бути розбита на складові частоти (тобто на синуси та косинуси всіх частот), була потужною і формує основу перетворення Фур'є. $e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

Перетворення Фур'є:

Перетворення Фур'є можна розглядати як продовження вищевказаного ряду Фур'є до неперіодичних функцій. Для повноти та ясності я тут визначу перетворення Фур'є. Якщо - неперервний інтегрується сигнал, то його перетворення Фур'є, задається через $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{R} x (t) e^{- ȷ 2 π f t} d t, \forall f \in R

$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$

і обернене перетворення задано через

x (t) = \int_{R} X (f) e^{ȷ 2 π f t} d f, \forall t \in R

$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$

Важливість в обробці сигналу:

Перш за все, перетворення Фур'є сигналу повідомляє вам, які частоти є у вашому сигналі та в яких пропорціях .

Приклад: Ви коли-небудь помічали, що кожна кнопка номера телефону звучить по-різному, коли ви натискаєте під час дзвінка, і що це звучить однаково для кожної моделі телефону? Це тому, що вони складаються з двох різних синусоїд, які можна використовувати для унікальної ідентифікації кнопки. Коли ви використовуєте телефон для пробивання комбінацій для навігації по меню, то інша сторона знає, які клавіші ви натиснули, здійснюючи перетворення Фур'є на вході та дивлячись на наявні частоти.

Окрім деяких дуже корисних елементарних властивостей, які роблять математику простою, деякі інші причини, чому вона має таке широке значення в обробці сигналів, є:

Квадрат величини перетворення Фур'є миттєво повідомляє нам, яку потужність має сигнал на певній частоті . $\vert X(f)\vert^2$ $x(t)$ $f$
Із теореми Парсевала (більш загально теореми Планчера) маємо що означає, що загальна енергія в сигналі за весь час дорівнює загальній енергії в перетворенні на всіх частотах . Таким чином, перетворення зберігає енергію. $\int_{R} | x (t) |^{2} d t = \int_{R} | X (f) |^{2} d f$ $\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$
Звороти у часовій області еквівалентні множенням в частотній області, тобто, з урахуванням двох сигналів і , то якщо $x(t)$ $y(t)$

$z (t) = x (t) ⋆ y (t)$ $z(t)=x(t)\star y(t)$ де позначає згортання, тоді перетворення Фур'є з є просто $\star$ $z(t)$
$Z (f) = X (f) \cdot Y (f)$ $Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$
Для дискретних сигналів, при розробці ефективних алгоритмів FFT, майже завжди швидше здійснити операцію згортання в частотній області, ніж у часовій області.
Аналогічно операції згортання, перехресні кореляції також легко реалізуються у частотній області як , де позначає складний кон'югат. $Z(f)=X(f)^*Y(f)$ $^*$
Вміючи розділити сигнали на їх складові частоти, можна легко блокувати певні частоти вибірково, зводячи нанівець їх внески.

Приклад: Якщо ви любитель футболу (футболу), ви, можливо, були роздратовані постійним гулом вувузел, які майже заглушили всі коментарі під час чемпіонату світу 2010 року в Південній Африці. Однак вувузела має постійний крок ~ 235 Гц, що полегшило мовникам впровадити зубчастий фільтр, щоб відключити шкідливий шум. ^[1]
Зсунутий (затриманий) сигнал у часовій області проявляється фазовою зміною частотної області. Хоча це підпадає під категорію елементарних властивостей, це властивість, що широко використовується на практиці, особливо в програмах візуалізації та томографії

Приклад: Коли хвиля рухається через гетерогенне середовище, вона сповільнюється і прискорюється відповідно до змін швидкості поширення хвилі в середовищі. Таким чином, спостерігаючи за зміною фази від очікуваного і що вимірюється, можна зробити висновок про перевищення затримки в часі, що, в свою чергу, говорить вам, наскільки змінилася швидкість хвилі в середовищі. Це, звичайно, дуже спрощене мирянське пояснення, але є основою для томографії.
Похідні сигналів (п ^й похідні теж) можна легко обчислити (див 106) з допомогою перетворення Фур'є.

Цифрова обробка сигналу (DSP) проти аналогової обробки сигналу (ASP)

Теорія перетворень Фур'є застосовується незалежно від того, чи є сигнал безперервним чи дискретним, доки він "приємний" і абсолютно інтегрується. Так так, ASP використовує перетворення Фур'є до тих пір, поки сигнали задовольняють цьому критерію. Однак, мабуть, частіше говорити про перетворення Лапласа, що є узагальненою трансформацією Фур'є, в ASP. Перетворення Лапласа визначається як

X (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t, \forall s \in C

$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$

Перевага полягає в тому, що не обов’язково обмежуватися "приємними сигналами", як у перетворення Фур'є, але перетворення дійсне лише в певній області конвергенції. Він широко використовується при вивченні / аналізі / проектуванні схем LC / RC / LCR, які, в свою чергу, використовуються в радіо / електрогітарах, педалях wah-wah тощо.

Це майже все, про що я міг би подумати зараз, але зауважте, що жодна кількість написань / пояснень не може повністю визначити справжнє значення перетворень Фур'є в обробці сигналів та в науці / техніці

— Лорем Іпсум
джерело

2

Приємна відповідь у наданні якоїсь програми в реальному світі за допомогою FT та його властивостей. +1.

— goldenmean

3

@endolith Я не говорив, що перетворення Фур'є було першим, тільки що воно є потужним . Зауважте, що серія Тейлора - це не розширення з точки зору складових частот. Наприклад, серія Тейлора приблизно дорівнює , тоді як перетворення Фур'є є (надайте або прийміть деякі фактори нормалізації). Останнє - це правильне представлення частоти, тому я не впевнений, що тут підходять якісь порівняння із серіями Тейлора.

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

0

$0$

α x - α^{3} x^{3} / 3! + α^{5} x^{5} / 5! \dots

$\alpha x-\alpha^3x^3/3!+\alpha^5x^5/5!\ldots$

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

[δ (ω - α) - δ (ω + α)] / (2 ȷ)

$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$

— Lorem Ipsum

6

Коли я почав читати цю відповідь, я якось зрозумів, що @yoda написав її, перш ніж прокрутити вниз, щоб побачити, хто це насправді =)

— Фонон

2

Для детальної роботи над №3: Згортання - це те, що ви робите, коли застосовуєте фільтр до зображення, наприклад, середній фільтр або фільтр Гаусса (хоча ви не можете перетворити нелінійні фільтри Фур'є).

— Йонас

1

Точка Пітера К дійсно критична. Сигнали можуть бути представлені відносно багатьох різних баз. Синуси та косинуси є особливими, оскільки вони є власними функціями систем LTI.

— nibot

53

Велика відповідь Лорема Іпсума пропускає одне: перетворення Фур'є розкладає сигнали на складові складні експоненти:

e^{ȷ ω t}

$e^{\jmath \omega t}$

а складні експоненти - це власні функції для лінійних, інваріантних за часом систем .

Простіше кажучи, якщо система є лінійною та інваріантною за часом, то її реакція на складний експоненціал буде складним експоненціалом тієї ж частоти, але (можливо) різною фазою, , і амплітудою, , --- і амплітуда може дорівнювати нулю: $H$ $\phi$ $A$

y = H [e^{ȷ ω t}] = A e^{ȷ ϕ} e^{ȷ ω t}

$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$

Тож перетворення Фур'є є корисним інструментом для аналізу лінійних систем, інваріантних за часом.

— Петро К.
джерело

@ Peter K. Я вважаю, що після філософії вибору щодо (академічної) правильності щодо "популярності" відповіді, ваша відповідь має бути інтегрована у вищенаведену відповідь, надану Лоремом Іпсумом, яка, незважаючи на те, що була обрана як відповідь із 96 балів користувачів, не вистачає цієї дуже важливої точки зору.

— Fat32

@Peter Вибачте, що заважаю вам у цьому запиті, але ви 1) модератор; 2) ваше ім’я з'явилося у списку "активних" користувачів з вашим тегом формування пучка Чи можете ви швидко розібратися, чи вдасться цю публікацію в Math.SE прийняти тут? Я не впевнений, чи мають найкращі шанси допомогти цьому запитувачу DSP.SE, Math.SE чи EE.SE. Я розглядаю міграцію (яку я можу зробити як модератор Math.SE).

— Jyrki Lahtonen

@Peter K., Чи можете ви знову відкрити питання за адресою: dsp.stackexchange.com/questions/37468 . Я виправив це. Спасибі.

— Рой

@Royi це вже відкрито?

— Пітер К.

Петро (Чому до деяких людей можна звернутися, @а хтось не може? Де варіант для цього?), Здається, хтось його відкрив. Спасибі.

— Рой

16

Інша причина:

Це швидко (наприклад, корисно для згортання), завдяки лінійно-складній часовій складності (конкретно, у FFT ).
Я б заперечував, що якби це не було, ми, мабуть, робимо набагато більше у часовій області, а набагато менше - у домені Фур'є.

Редагувати: Оскільки люди попросили мене написати, чому FFT швидкий ...

Це тому, що вона спритно уникає зайвої роботи.

Щоб навести конкретний приклад того, як це працює, припустимо, ви помножили два многочлени, і . $a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$ $b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

Якщо ви мали би це робити наївно (використовуючи метод FOIL ), вам знадобиться приблизно арифметичних операцій (дайте або приймайте постійний коефіцієнт). $n^2$

Однак ми можемо зробити, здавалося б, буденне спостереження: для того, щоб помножити два многочлени, нам не потрібно ПІДКЛЮЧИТИ коефіцієнти . Натомість ми можемо просто оцінити поліноми за (достатньою) кількістю балів, зробити точне множення оцінених значень, а потім інтерполювати, щоб отримати результат.

Чому це корисно? Зрештою, кожен многочлен має доданків, і якби ми оцінювали кожен з них в балів, це все одно призведе до $n$ $2n$ $\approx n^2$ операцій, тому, здається, це не допоможе.

Але це робить, якщо ми робимо це правильно! Оцінювання одного многочлена в багатьох точках одночасно швидше, ніж оцінювання його в цих точках окремо, якщо ми оцінюємо в "правильних" точках . Які "правильні" моменти?

$z$ $z^n = 1$

Ми можемо зробити дуже подібний процес інтерполяції через точки, щоб повернути поліноміальні коефіцієнти результату, просто використовуючи обернені корені одиниці.

$n \log n$ $n^2$

Таким чином, можливість використовувати FFT для виконання типової операції (наприклад, множення полінома) набагато швидше - це робить її корисною, і саме тому люди зараз схвильовані новим відкриттям MIT алгоритму розрідженого FFT .

— Мехрдад
джерело

Що таке лінійно-часова складність часу? Я не буду downvote ця відповідь , але я не думаю , що це додає що -то цінне для цієї дискусії про Фур'є - перетворень .

— Діліп Сарват

1

@DilipSarwate Я підозрюю, що він використовує це як скорочення для O (n * log (n)).

— Джим Клей

@DilipSarwate: Джим правий. Це має все спільне з (дискретними) перетвореннями Фур'є. Без FFT ваші перетворення Фур'є потребують часу, пропорційного квадрату вхідного розміру, що зробить їх набагато менш корисними. Але при FFT вони беруть час пропорційний розміру вкладеної інформації (в рази більше її логарифму), що робить їх набагато кориснішими та прискорює багато обчислень. Також це може бути цікавим читанням.

— Мехрдад

Ви повинні згадати ЧОМУ її швидкість. Де його швидкий і чому ми піклуємося про його швидкість?

— CyberMen

1

Я вважаю, що ця відповідь є законною. Це слід перефразовувати - "Окрім усіх приємних характеристик, пояснених у відповіді інших людей, FFT дозволяє йому стати здійсненним підходом у додатках у режимі реального часу".

— Андрій Рубштейн

15

$e^{kx}$ $\frac{d^n}{dx^n}$ $k$ $k$

$e^{kx}$

EDIT: Власне, диференціальні (і інтегральні) оператори є операторами LSIV, дивіться тут .

— чаохуанг
джерело

8

Деякі з інших відповідей у цій темі мають чудові математичні дискусії щодо визначення та властивостей перетворення Фур'є; Як аудіопрограміст, я просто хочу викласти власну особисту інтуїцію щодо того, чому це важливо для мене.

Перетворення Фур'є дозволяє мені відповідати на питання про звук, на які важко або неможливо відповісти іншими методами. Це робить важкі проблеми легкими.

Запис містить набір з трьох музичних нот. Які ноти? Якщо ви залишите запис як набір амплітуд у часі, це непроста проблема. Якщо з часом перетворити запис на набір частот, це дійсно просто.

Я хочу змінити крок запису, не змінюючи його тривалості. Як це зробити? Це можливо, але це нелегко зробити, просто маніпулюючи амплітудою вхідного сигналу. Але це легко, якщо ви знаєте частоти, які складають сигнал.

Чи цей запис містить промову чи він містить музику? Супер важко зробити, використовуючи лише методи на основі амплітуди. Але є хороші рішення, які майже весь час здогадуються про правильну відповідь на основі трансформації Фур'є та його родини.

Практично кожне питання, яке ви хочете задати про цифровий аудіозапис, полегшується шляхом перетворення запису за допомогою дискретної версії перетворення Фур'є.

На практиці кожен сучасний цифровий аудіопристрій значною мірою покладається на функції, дуже схожі на перетворення Фур'є.

Знову пробачте дуже неформальний опис; це лише моя особиста інтуїція того, чому важлива трансформація Фур'є.

— johnwbyrd
джерело

Гей, Джон, у мене дурне питання. Я хочу обчислити TWA ( osha.gov/pls/oshaweb/… ) із звуку, який ми записали на робочому місці, мені цікаво, чи можу я виміряти це значення точніше, якщо я використовую перетворення Фур'є для аналізу мого аудіофайлу.

— Hossein Sarshar

Якщо мікрофон та середовище запису не були відкалібровані, ні.

— johnwbyrd

6

Інші люди дали чудові корисні відповіді. Подумайте лише про якийсь сигнал: вас хвилює лише те, які частоти знаходяться в ньому (та їх фаза), а не про часову область. Я не знаю, що це остаточна чи повна відповідь, але просто ще одна причина, чому перетворення Фур'є є корисним.

Якщо у вас є сигнал, він може складатися з нескінченного (або близького до) числа частот, залежно від вашої швидкості вибірки. Але це не так: ми знаємо, що більшість сигналів мають найменшу кількість можливих частот, або що ми відбираємо вибірки з досить високою швидкістю.

Якщо ми це знаємо, чому ми не можемо ним скористатися? Ось що робить поле стисненого зондування. Вони знають, що найімовірнішим є сигнал, який має найменшу помилку і має найменші частоти. Отже, вони мінімізують загальну помилку щодо наших вимірювань, а також величину перетворення Фур'є.

Сигнал декількох частот часто має мінімальне перетворення Фур'є, або в основному нулі (він же "розріджений", як кажуть у стисненому зондуванні). Сигнал однієї частоти просто виконує функцію дельта як перетворення, наприклад.

Ми також можемо використовувати формальне математичне визначення.

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

$||\cdot||$ $||\cdot||$

$\bar{x}$
$y$
$A$
$x$
$\lambda$
$F(x)$

Ви можете згадати, що Найквіст сказав, що вам потрібно виміряти вдвічі більшу частоту, щоб отримати гарне уявлення. Що ж, це передбачало, що у вас сигнал нескінченно частот. Ми можемо подолати це!

Поле стисненого зондування може реконструювати будь-який сигнал, який є здебільшого нулями (або розрідженими) в деякій області. Що ж, це стосується перетворення Фур'є.

— Скотт
джерело

5

Основне значення перетворення Фур'є полягає в системному аналізі. Основна складова нашого Всесвіту - вакуум, а вакуум - це принципово лінійний та інваріантний часом носій полів: різні поля накладаються шляхом додавання відповідних векторів, і незалежно від того, коли ви повторите застосування певних полів, результат буде однаковим .

Як наслідок, багато систем, що також включають фізичну речовину, в хорошому наближенні ведуть себе як лінійні системи, інваріантні за часом.

Такі системи LTI можуть бути описані їх "імпульсною відповіддю", а відповідь на будь-який розподілений за часом сигнал описується шляхом перетворення сигналу з імпульсною відповіддю.

Конволюція - це комунікативна та асоціативна операція, але вона також досить обчислювальна та концептуально дорога. Однак згортання функцій відображається шляхом перетворення Фур'є в кусочне множення.

Це означає, що властивості лінійних інваріантних систем часу та їх комбінації набагато краще описані та маніпульовані після перетворення Фур'є.

В результаті такі речі, як "частотна характеристика", досить характерні для опису поведінки багатьох систем і стають корисними для їх характеристики.

Швидкі перетворення Фур'є знаходяться в класі "майже, але не зовсім, зовсім на відміну від перетворень Фур'є", оскільки їх результати насправді не є розумним для інтерпретації, оскільки перетворення Фур'є, хоча і твердо прокладені в їхній теорії. Вони відповідають перетворенням Фур'є повністю лише тоді, коли йдеться про дискретизований сигнал з періодичністю інтервалу перетворення. Зокрема, критерій "періодичність" майже завжди не виконується.

Існує кілька прийомів для вирішення цього питання, як-от використання функцій вікон, що перекриваються.

Однак FFT може бути використаний для того, щоб робити згортки дискретного часу, коли робити все правильно, і чи ефективний алгоритм робить його корисним для багатьох речей.

Можна використовувати базовий алгоритм FFT також для теоретичних перетворень чисел (які працюють у дискретних полях чисел, а не в складних "числах"), щоб зробити швидку згортку, як, наприклад, при множенні гумогенних чисел або многочленів. У цьому випадку "частотна область" не відрізняється від білого шуму в основному для будь-якого введення і не має корисної інтерпретації, перш ніж повторно робити зворотне перетворення.

— Девід
джерело

2

фізична актуальність перетворення Фур'є полягає в тому, що він повідомляє відносну амплітуду частот, присутніх в сигналі. він може бути визначений як для дискретного часу, так і для постійного сигналу часу. Будь-який сигнал може бути представлений як суміш багатьох гармонічних частот. Допомога перетворення Фур'є у додатках фільтрів, де нам потрібен лише певний діапазон частот, тоді ми спочатку повинні знати, які амплітуди частот містяться в сигналі.

— вацяян
джерело