Середня часова область FFT порівняно із середньою середньою частотою

У мене є кілька випробувань фізіологічних даних. Я роблю аналіз на основі частоти для аналізу потужності (амплітуди) на певних частотах, що цікавлять. Чи є усереднення декількох випробувань однакової довжини, а потім взяття однієї FFT усередненого сигналу проти обчислення FFT для кожного випробування, а потім усереднення відрядок частоти однакове? На практиці я вважаю, що це не так.

Зокрема, сигнал, природно, має сильний 1 / f компонент, і це підкреслюється, якщо я обчислюю FFT кожного окремого випробування, а потім середнє значення амплітуд (реальної частини) кожного відрізка частоти. Ці два еквівалента? чи є правильний спосіб робити речі? або за яких принципових умов слід робити вибір між усередненням часової області та усередненням бін частоти?

Дозвольте уточнити.

• Перетворення Фур'є не представляє гістограми сигналу. Перетворення Фур'є - це лінійне перетворення, яке приймає сигнал з часової області (складна функція) в частотну область (інша складна функція). Він приймає складну функцію до іншої складної функції.
• Трансформація Фур'є є лінійною, як зазначено вище.
• Етап у ваших зразках має значення, як зазначено вище. Якщо дані пробного випробування різняться по фазі, то ви не хочете проводити середнє значення, перш ніж робити перетворення Фур'є, але ви також не хочете проводити середнє значення після перетворення Фур'є. Ви хочете провести середнє значення після перетворення Фур'є та норми. Нижче я детальніше розповім, що саме потрібно зробити.

Тут головне питання полягає в тому, що питання поставлено неправильно. Це не "чи слід проводити перетворення Фур'є перед усередненням або після усереднення". Тому що це не має різниці через лінійність перетворення Фур'є.

Правильне запитання - «чи слід брати амплітуду перетворення Фур'є перед усередненням або після усереднення». На це питання відповідь є раніше.

Ось деталі.

Припустимо, що ваші вибіркові дані представлені послідовностями:

$d_1=d_1[n_1],d_1[n_2],...d_1[n_N]$

$d_2=d_2[n_1],d_2[n_2],...d_2[n_N]$

$d_3=d_3[n_1],d_3[n_2],...d_3[n_N]$

...

$d_M=d_M[n_1],d_M[n_2],...d_M[n_N]$

де - дані з M випробувань, а - вибіркові точки часу, тоді:$d_1,...d_M$$n_1,...n_N$

$F_1 = \sum_{j=1}^M{|\mathcal{F}\{d_j\}|} \neq |\mathcal{F}\{\sum_{j=1}^M{d_j}\}| = F_2$

Отже, хоча перетворення лінійне,не.| Ж $\mathcal{F}$$|\mathcal{F}|$

Крім того, поки справжній для всіх , ні, алеє.i , j F { d j } | F { d j } $d_j[n_i]$$i,j$$\mathcal{F}\{d_j\}$$|\mathcal{F}\{d_j\}|$

Що стосується того, що вам слід зробити, вам слід здійснити перетворення Фур'є в окремих випробуваннях (через FFT), отримати амплітуду окремих випробувань і середнє їх значення разом.

Нарешті, що є . - це короткий термін для частотного спектру "природних" сигналів (зазвичай люди думають про зображення).1 /$1/f$$1/f$

Коли люди кажуть, що є великий компонент , це означає, що амплітуда як функція частоти виглядає як . Це повністю ручно хвилясто ... ймовірно, йде від біолога: с1 /$1/f$$1/f$

Зворотне перетворення Фур'є в є деякою знаковою функцією, але це марно. Це уявна функція знаку! Реальні функції породжують симетричне перетворення Фур'є.$1/f$

Насправді кажучи, що спектр дорівнює , говорить щось про сигнал, але це не дозволяє відновити сигнал. Все, що ви знаєте, - це. Це не дозволяє однозначно визначити оскільки вся фазова інформація відсутня , і ми знаємо, що структура сигналу сильно покладається на його фазу .| F { x ( t ) } | = | 1 / ф | x ( t $1/f$$|\mathcal{F}\{x(t)\}| = |1/f|$$x(t)$

$1/f$

Настільки ж важливе питання, що вас купує усереднення? і важливіше - як інтерпретувати результат? Налаштуйте завтра для більш глибокої дискусії: с

По-перше, FFT - це алгоритм. Перетворення називається перетворенням Фур'є! Він являє собою гістограму сигналів. У дискретному випадку високе зчитування в частотних областях означає багато енергії на цій частоті.

Не слід оцінювати дані перед FFT, оскільки фазова інформація спричинить значні зміни в даних.

Уявіть 2 зразки, що складаються з чистого косинуса. У реальному світі ви ніколи не будете захоплювати цей косинус у точно такій же вихідній точці. Один косинус буде зміщений відхильним до іншого (або обидва мають різні зрушення, що відносяться до початку. Математично це говорить y1 = cos (wt-A) y2 = cos (wt-B), де A & B зміщуються. У вашій моделі ці два краще відображаються як те саме. З невеликою математикою я можу вибрати ці значення, щоб y2-y1 = 0. Середнє значення нуля дорівнює нулю і зовсім не те, що ви хочете. Це фазова проблема.

Якщо ваша мета полягає в тому, щоб знайти середній спектр, який ви повинні середні по спектрах, не оцінюйте сигнали!

Якщо я повністю не базуюсь або неправильно розумію ваше запитання, відповідь так : За лінійності DFT, усереднення сигналів у часі, а потім взяття DFT середнього рівня еквівалентне усередненню DFT сигналів.

Щоб показати це, давайте визначимо деякі змінні:

• $x_{n}[\ell]$$\ell^{th}$$n$
• $X_{k}[\ell]$$\ell^{th}$$k$

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} x_{n}[\ell]$

$\sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{L} \sum_{\ell}^{L} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N}$

Перемикаючи порядок підсумків, ми можемо записати

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N},$

але це те саме, що

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} X_{k}[l]$

що є тим же, як усереднення коефіцієнтів DFT кожного випробування. Це ми хотіли показати.