Що означає "стохастичний вибірки"?

Що саме мається на увазі під «стохастичним відбору проб» і чи він сильно відрізняється від звичайної теореми відбору проб Найкіста-Шеннона ? Чи пов’язано це з вибіркою стохастичного процесу?

Стохастичний вибірки не має нічого спільного з вибіркою стохастичних форм хвиль. Це просто означає, що замість вибірки через рівні проміжки часу форма хвилі відбирається вибірково.

Нагадаємо, що у схемі вибірки за теоремою вибірки Найквіста-Шеннона неперервний сигнал на відбирається як , де T - інтервал вибірки, а f_s = 1 / T - частота вибірки. Якщо максимальна частота в сигналі f_ {max} , то f_s повинна бути такою, що f_s \ geq 2f_ {max} , щоб уникнути псевдоніму. Для зручності порівняння зі стохастичним відбору проб, надалі у відповіді, дозвольте мені повторно визначити вибірку у дещо іншій формі, ніж зазвичайR x [ n ] = x ( n T ) , n ∈ Z T f s = 1 / T f m a x f s f s ≥ 2 f m a $x(t)$$\mathbb{R}$$x[n]=x(nT),\ n\in\mathbb{Z}$$T$$f_s=1/T$$f_{max}$$f_s$$f_s\geq 2f_{max}$

$$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s\tau -1}\delta(t-nT)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$$ де $\delta(t)$ - функція дельти Дірака, а $x(t)$ відбирається лише на інтервалі $[0,\tau]$ .

Якщо ви насправді задумаєтесь про це, регулярний відбір проб на практиці досить обмежує. Збільшення врожаю в декількох місцях, і, мабуть, добре відомий і помітний ефект - це моделі Муаре, які можна відтворити вдома, сфотографувавши звичайні візерунки, що відображаються на телебаченні (приклади нижче).

Однак це завжди проблема з камерами, але ніколи не з очима, якби ви бачили викрійку прямо! Причина полягає в тому, що фоторецептори у вашій сітківці не розміщуються у звичайній схемі на відміну від ПЗЗ у фотоапараті. Ідея (не обов'язково ідея, яка призвела до її розвитку) стохастичного відбору проб дуже схожа на нерегулярне розташування фоторецепторів в оці. Це метод згладжування, який працює, порушуючи закономірність вибірки.

У стохастичній вибірці кожна точка сигналу має ненульову ймовірність вибірки (на відміну від звичайної вибірки, де певні ділянки ніколи не будуть відібрані). Проста однакова схема стохастичної вибірки може бути реалізована через той же інтервал і$[0,\tau]$

$$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s \tau -1}\delta(t-t_n),\quad t_n\sim \mathcal{U}(0,\tau)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$$

де - рівномірний розподіл на інтервалі .[ 0 , τ $\mathcal{U}(0,\tau)$$[0,\tau]$

Провівши стохастичний вибірки, про "частоту Найквіста" не можна говорити, тому згладжування більше не буде проблемою, як раніше. Однак це виходить ціною. Те, що ви отримуєте за рахунок згладжування, ви втрачаєте від шуму в системі. Стохастичний вибірки вводить високочастотний шум, хоча для декількох застосувань (особливо у зображенні) випромінення є набагато сильнішим неприємністю, ніж шум (наприклад, ви можете з легкістю побачити шаблони Муара на наведених вище зображеннях, але в меншій мірі - шум спекл. ).

Наскільки я знаю, схеми відбору стохастичних вибірок майже завжди використовуються в просторовому відборі (при обробці зображень, комп'ютерній графіці, обробці масивів тощо), а вибірки у часовій області все ще переважно регулярні (я не впевнений, чи люди навіть турбуються зі стохастичною вибіркою у часовій області). Існує кілька різних схем стохастичного відбору проб, таких як вибірка Пуассона, відхилене відбору проб тощо, які ви можете шукати, якщо вам це цікаво. Для загального низького ключового вступу до теми див

MAZ Dippé та EH Wold, "Антиалізінг через стохастичний відбір проб" , SIGGRAPH, Vol. 19, № 5, с. 69-78, 1985.