Як може фільтр мати нульову групову затримку?

Якщо ви помістите хвильовий пакет через смугу пропускання фільтра низького проходу першого порядку, він затримається груповою затримкою фільтра і залишиться такою ж амплітудою, правда?

Якщо ви помістите один і той же пакет хвиль через додатковий фільтр високих частот 1-го порядку з однаковою частотою відсікання, крива групової затримки однакова, тому затримка пакету буде однаковою, але посилення набагато нижче, тому це буде бути як затримкою, так і послабленою до незначності.

Оскільки вихід фільтра високої частоти дуже малий, якщо підсумовувати виходи цих двох фільтрів (як у аудіо кросовера), я б очікував, що він незначно відрізнятиметься від виходу фільтра нижніх частот: Великий затриманий сигнал + дуже маленький затриманий сигнал = великий сигнал затримки.

Однак якщо підсумовувати відповіді фільтрів, амплітуда скрізь дорівнює 0 дБ, а фаза - 0 скрізь, і тому групова затримка стає 0, що означатиме, що хвильовий пакет виходить без затримки і без змін. Я не розумію, як це можливо. Чи не завжди фільтри мають затримку? Як фільтр (який також має позитивну групову затримку) може скасувати затримку, викликану іншим каналом, особливо, коли це відбувається в зоні зупинки?

Яку частину я тут нерозумію?

Найвідомішими типами кросоверів з лінійною фазою є неінвертовані кросовери першого порядку, ... Кросовер першого порядку - це мінімальна фаза, коли його результати підсумовуються нормально; він має плоскофазний графік при 0 °. - Дизайн активних кросоверів

і

Тут результат підсумовування результатів разом створює фазовий зсув 0 °, що означає, що підсумована амплітуда і фазовий зсув кросовера першого порядку еквівалентна шматку дроту. - Кросовер Лінквіц-Райлі: Підручник: Crossover Networks 1-го порядку

Тестування на фактичних імпульсах показує, як низький проміжок (синій) затримує імпульс, як очікувалося, і як високочастотний (зелений) може поєднуватися з ним для отримання оригінального (червоного) імпульсу, але як відбувається імпульс на високому частоті перед початковим, якщо фільтр високих частот є причинним і має позитивну групову затримку? Інтуїція мене провалює.

Це робить шоу , що вихід ФВЧА не настільки мізерний , як я уявляв собі, а затримка більш незначна , ніж я уявляв собі, і , як ви перенесли несучу частоту навколо, ці два властивостей змінюються в пропорційному шляху (менша затримка потрібна нижча амплітуда ФВЧА вихід щоб виправити це). Але я все ще не дуже розумію цього.

Є кілька цікавих аспектів "реконструкції до єдності". По-перше, є два способи поєднання двох фільтрів: паралельний і послідовно. Для паралельної топології ЗАВЖДИ можна знайти безкоштовний фільтр, щоб пари додавали до єдності. Насправді це досить просто. Просто робіть$\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$. У часовій області це означає, що імпульсна відповідь додаткового фільтра є просто від’ємною від вихідної імпульсної відповіді з 1, доданим до першого зразка. Тож усі "кільчасті" речі скасовуються. Тепер форма цього безкоштовного фільтра - це не завжди те, що можна було б очікувати. Для низького проходу першого порядку це фактично високий пропуск першого порядку, але для фільтрів вищого порядку він має тенденцію мати над / під гойдалками в області відсічення. Однак він завжди існує як стабільний причинний фільтр.

Серія (або каскад) "реконструкції до єдності" дещо складніша. Очевидно, що фільтри повинні були бути оберненими один до одного, тобто$\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$. Взагалі це можна зробити для будь-якого фільтра мінімальної фази. Зворотний фільтр мінімальної фази також мінімальний, і обидва є причинними та стабільними.

Отже, це залишає перед нами питання, як інтерпретувати групову затримку в цих випадках. Справа каскаду насправді тим цікавіша. Оскільки фільтри зворотні один одному, фаза, а отже, і затримка групи, одного є негативом іншого. Так на частотах один фільтр мав позитивну групову затримку, інший - негативну групову затримку. Простим прикладом може бути низька полиця з + 6dB посилення та низька полиця з 6dB розрізу. Тож негативні затримки групи є дуже реальними і, безумовно, не є порушенням причинності. На практиці вони з’являються в областях фільтра, які є досить «не плоскими», тому традиційна інтерпретація «затримки конверта» не зовсім застосовна, оскільки існує також велика кількість амплітудних спотворень.

Якщо у вас є "негативна затримка групи" від Google, ви можете знайти кілька статей IEEE, які стосувалися цієї теми.

У цій проблемі немає неправильного застосування групової затримки, а також порушення фізики чи причинності. Визначення групової затримки як негативної похідної фази по відношенню до частоти все ще має місце, оскільки кожен фільтр самостійно має позитивну затримку в часі, яка не є постійною над частотою. Деталі розкриваються в тому, що відбувається, коли фільтри підключаються паралельно або послідовно.

У цьому прикладі перехресного фільтра два фільтри, очевидно, паралельно, щоб досягти показаного результату, що дуже інтуїтивно зрозуміло, як результат міг би мати затримку 0 груп: два фільтри - це безкоштовний низький та високий прохід; а при підключенні паралельно діють так, ніби жоден із фільтрів не присутній (всепрохідний, із затримкою 0). Якби ці фільтри були підключені послідовно, результатом буде пропускна смуга при перехресті з очікуваною затримкою; високочастотна частота зменшила б низькі частоти, а низька частота послабила б високі частоти, і при перехресті обидва сигнали передадуть -3 дБ сигналу, в результаті чого при перехресті буде величина 0,5 і фаза = 0 ° :$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Розглянемо загальний випадок двох лінійних систем паралельно і за частотою, як показано на блок-схемі нижче з їх частотними характеристиками. Зауважте, що коефіцієнти та показники є функціями частоти, яку я опустив, щоб зберегти вирази простими та чіткими;$A_1 e^{j\phi_1}$ представляє $A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$ і обидва вирази являють собою перетворення Фур'є імпульсної реакції цих систем (частотна характеристика), таких як графіки, показані ОП для високопрохідних і низькочастотних систем.

Розглянемо перший випадок з огляду на питання ОП. На перехресті кожного фільтра є величина і фаза, задані як:

Highpass при перехресті: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

Низький прохід при перехресті: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Паралельно результат був би: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$ який дорівнює 1 з кутом 0. Цей випадок найпростіше побачити графічно як додавання двох векторів:

Серією результат був би $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$. При множенні векторів ви множите величини і додаєте фази (експоненти), тому цей результат просто 0,5 з фазою 0.

А на найвищій частоті кожен фільтр має величину і фазу, задані як:

Highpass як f $\rightarrow \infty$: $1e^{j0}$

Lowpass як f $\rightarrow \infty$: $0e^{-j\pi}$

Зауважимо, що результат для паралельного випадку все ще дорівнює 1 з кутом 0, але у рядковому випадку він наближається до 0 (з кутом $-\pi$) у міру наближення частоти $\infty$. Це має сенс, високий прохід передає сигнал (без затримки - фільтр є прозорим на найвищих частотах), але нижній пропуск повністю блокує його, тому нічого не проникає. Далі ми бачимо, як фаза змінюється в негативному напрямку, коли ми проходимо через перехрестя, і чи відбувається затримка результату смуги пропускання підсумованих фільтрів, що задається від’ємником нахилу чистого зсуву фази проти частоти .

Те, що відбувається між ними, вимагає особливих математичних відносин між двома фільтрами, щоб паралельна комбінація підсумовувалася до нульової фази (і, отже, затримка нульової групи, по суті робить паралельну комбінацію також прозорою). Розглянемо приклад ОП, де ми чітко бачимо, що у фазі двох фільтрів існує квадратурний зв’язок. Таким чином, ми маємо:

Для того, щоб цей результат завжди мав нульову фазу для всіх частот, має виконуватися наступна рівність:

Або ж описано як:

Це просто реальна і уявна складова одиничного кола, коли ми підмітаємо $\phi_1$над усіма можливими значеннями. Тому коли$A_1 = cos(\phi_1)$ і $A_2 = sin(\phi_1)$, векторне підсумовування двох фільтрів призведе до нульової фази для всіх $\phi_1$ і тому всі частоти.

Що стосується можливої ​​інтуїції з кінцевим сюжетом, який показав ОП, і його питання, врахуйте, що похідна є функцією високого пропускання - якби ви взяли похідну червоного імпульсу, у результаті ви отримаєте зелений імпульс. Ви не могли почати отримувати цей результат, поки не з’явиться червоний пульс, тому порушення причинності немає.

Я подумав, що це досить цікаве питання, тому я спробую відповісти на нього, хоча і на 5 років пізніше.

Я думаю, ви знайшли спосіб неправильного застосування одного із способів вимірювання групової затримки, тобто, обчисливши її як негативну похідну фази. У цій ситуації цей метод недоцільний.

У цій ситуації більш прийнятним способом вимірювання групової затримки є використання синусоїдального введення та вимірювання затримки між входом та підсумковим виходом. Звичайно, для того, щоб отримати повну картину, вам потрібно буде виконати частотне підмітання, яке є клопотом, але точно.

Якщо ви це зробите, я думаю, що ми можемо всі погодитись, що ви відміряєте ненульову групову затримку.

Групова затримка пов'язана з груповим, тобто модульованим сигналом, тому вимірювання групової затримки повинно проводитися за допомогою групи (модульований сигнал). Група, що входить у фільтр, повинна бути однаковою щодо його форми на виході фільтра. Форма означає, наприклад, спектр групи. Вимірювання, проведені на одній частоті, не містять інформації про затримку групи.