Пояснення PSD (спектральної щільності потужності)

Я намагаюся зрозуміти, як обчислюється PSD. Я переглянув декілька своїх підручників з комунікаційної техніки, але безрезультатно. Я також дивився в Інтернеті. Вікіпедія, здається, має найкраще пояснення; однак я заблукаю в тій частині, де вони вирішили зробити CDF (функція накопичення дистрибуції), а потім чомусь вирішують пов'язати це з функцією автокореляції.

Я думаю, що я не розумію, як автокореляція має щось спільне з обчисленням PSD? Я б подумав, що PSD - це просто перетворення Фур'є (де - потужність сигналу щодо часу). $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— user968243
джерело

Як ви визначаєте

P (t)

$P(t)$

— Фонон

Я насправді не визначаю це як щось. Це просто якийсь силовий сигнал. Я думаю, якби мені довелося це визначити, це було б

... Я думаю, справа в тому, що PSD не

і він має щось стосується автокореляції, і я не розумію, що ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

Ти не можеш реально визначити потужність такої для довільних сигналів. Концепції напруги та струму відсутні. Потужність у цьому випадку визначається як сила хвилі (електромагнітна, якщо вам подобається). Так це

, і це одне число, а не величина, що змінюється за часом.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Phonon

Читайте про теорему Вінера-Хінчіна . Ви відмовляєтесь розуміти, що Фонон вказує вам, що межа, яку ви обчислюєте, є постійною, і тому її перетворення Фур'є є лише імпульсом при

у частотній області. Якщо це пливе ваш човен, ідіть за ним, але це не спектральна щільність потужності, як це розуміють усі інші.

f = 0

$f=0$

— Діліп Сарват

Я читав про цю теорему ... І я розумію, як вона пов’язує перетворення Фур'є з автокореляцією. І я не відмовляюся розуміти, що сказав Фонон ... Я точно розумію, що сказав @Phonon. Чого я не розумію, це те, чому використовується формула автокореляції, і я також не розумію, чому використовується спосіб перетворення фур'є (щоб отримати PSD, ви можете взяти трансформацію фур'є, взяти величину, квадратизувати його тощо) ... Я поняття не маю, чому це призведе до отримання PSD, і я не зміг знайти гідне виведення.

— user968243

Відповіді:

Ви маєте рацію, PSD має відношення до обчислення Фур'є-перетворення потужності сигналу та здогадайтесь, що ..... це робить. Але спочатку давайте розглянемо математичну залежність між PSD та функцією автокореляції.

Позначення:
- Перетворення Фур'є: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (Час) Функція автоматичної кореляції: $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
Доведемо, що перетворення Фур'є функції автокореляції дійсно дорівнює щільності спектральної потужності нашого стохастичного сигналу . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

Що це все означає? Примітка. Це пояснення трохи "хакі". Але ось це іде

Перетворення Фур'є повідомляє нам спектральні компоненти сигналу. У нашому випадку сигнал є стохастичним; Отже, намагання обчислити спектральні компоненти сигналу буде безглуздим, оскільки для кожної реалізації випадкового процесу у вас будуть різні вирази для . $\mathcal{F}[x(t)]$

Що робити, якщо взяти очікуване значення перетворення Фур'є? Це не спрацювало б. Візьмемо, наприклад, нульовий середній сигнал.

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Av. Power of the Signal}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

$P(t)$

Список літератури:

[1] Комунікації 1, PL. Драготті, Імперський коледж Лондона

[2] Білий шум і оцінка, Ф. Тобар [Неопублікований звіт]

— ssk08
джерело

d t

$dt$

d τ

$d\tau$

\infty

$\infty$

\infty

$\infty$

так, правильно.

— ssk08

x (t)

$x(t)$

x^{2} (t)

$x^2(t)$

N

$N$

N

$N$

@Mohammad підсумував це прекрасно.

— ssk08

Гарне виведення, але я думаю, ви можете зробити це ще простіше

$r(t) = x(t)*x(-t)$

Згортання в часовій області - це множення в частотній області.

Час перевертання в часовій області "складний кон'югат" у частотній області.

Отже, отримуємо

R (ω) = F {r (t)} = F {x (t)} F {x (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Гільмар
джерело

Хіба не автокореляція - це згортання сигналу зі складною сполученою, перевернутою часом?

— Джим Клей

Я думаю, що він припускає, що сигнал справжній.

— ssk08

@Jim & ssk08: ви, звичайно, обидва вірні. Дякуємо за прибирання рівнян.

— Гільмар

Пояснення PSD (спектральної щільності потужності)

P(t)P(t)P(t)

$P(t)$