Яка реакція фази та величини білого шуму?

Я хотів би створити білий шум у частотній області, а потім перетворити його на часову область за допомогою python. Щоб зрозуміти проблему, я просто генерував білий шум у часовій області і перетворив його на freq домен:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Я зовсім не дивлюся так, як я очікував: Питання:

• Чи не повинен білий шум мати рівну характеристику? (однакові суми для всіх частот)
• Який взаємозв'язок між стандартним відхиленням (1 у моєму прикладі) та величиною та фазою?

Заздалегідь спасибі!

Чи не повинен білий шум мати рівну характеристику? (однакові суми для всіх частот)

Очікувати відгук величини білого шуму є плоским (це те , що JasonR називає спектральну щільність потужності). Будь-який конкретний екземпляр послідовності білого шуму не матиме точно рівного відгуку (саме так у коментарі JasonR називається спектр потужності).

Насправді перетворення Фур'є білого шуму - це ... білий шум!

Який взаємозв'язок між стандартним відхиленням (1 у моєму прикладі) та величиною та фазою?

Не буде зв’язку між стандартним відхиленням і фазою. Що стосується величини, припустимо, $n(t)$ - стаціонарний білий шум з нульовим середнім і стандартним відхиленням $\sigma$ . Тоді автокореляція (коваріація):

$$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$$

Таким чином, спектральна щільність потужності дорівнює $\sigma^2$ (хоча для дискретного часу буде масштабуватися залежно від тривалості сигналу).

---

Запитання з коментаря:

1. Коли ви говорите, що перетворення Фур'є - це також білий шум, як я можу виміряти std-dev, коли перетворення є складним? Справжня, уявна частина чи якесь поєднання?

$n[m]$$\sigma^2$

$$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$$

і очікуване значення:

$$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

Дисперсія реальної частини задається:

$$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$$

Я вірю, що уявна частина поводитиметься так само.

2. Не могли б ви прояснити, як тривалість сигналу стосується спектральної щільності потужності (для дискретних часових ситуацій)

Я вважаю, що (виходячи з вищенаведеної деривації) спектральна щільність потужності (очікуване значення квадрата DFT) буде лінійно масштабуватися як тривалість.

3. Якщо на фазу не впливає std-dev, визначає амплітуду 3 ступеня та тип розподілу (здається, рівномірний, а не нормальний)

Перегляньте таблицю на сторінці 2 цього PDF-файлу . це говорить про те, що аргумент (фаза) коефіцієнтів буде рівномірно розподілений, як ви заявляєте. Знімок екрана таблиці, включеної нижче.