Чому додавання часової версії сигналу до себе створює відфільтрований сигнал?

9

Мені було задано це питання, і я не міг придумати відповіді на місці, яке не стосувалося частотної області (в основному, що коефіцієнти послідовності затримки є імпульсною реакцією фільтра FIR).

Хтось має уявлення, яке робить цей процес "очевидним"?

filters

— Том Кілі
джерело

9

Якщо ви затримуєте сигнал на секунд і додаєте його до самого сигналу, ви скасовуєте або скасовуєте нульовий компонент сигналу на частоті Гц, оскільки цей компонент сигналу точно змінив фазу $T$ $\frac{1}{2T}$ $\pi$ :

\begin{aligned} \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 Т} т + θ) гріх (π) \\ = гріх (2 π \frac{1}{2 Т} т + θ) - гріх (2 π \frac{1}{2 Т} т + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$ Подібна річ відбувається у непарних кратних одиницях

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Гц також. Для частот, що знаходяться поблизу, скасування не є таким повним, і, звичайно, навіть у кратних значеннях

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Гц, компонент сигналу подвоюється у значенні, а не скасовується. Аналогічно, якщо сигнал затримки зменшується по амплітуді, скасування не завершується при

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Гц і т.д.

Щоб підвести підсумок, то сигнал буде фільтрується , тому що різні частоти пропускають через з різними коефіцієнтами підсилення.

Якщо потрібно пояснення частотної області, функція передачі $H(f)$ системи - це перетворення Фур'є в тому, що відповідь Метта дала як імпульсну відповідь, а саме.

Ж [δ (т) + δ (т - Т)] = 1 + досвід (- j 2 π f Т)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$ що є непостійною функцією

f

$f$ (фактично,

| H (f) |

$|H(f)|$ синусоїдально змінюється від максимуму до

2

$2$ до мінімуму

0

$0$ як обговорювалося вище) тощо

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$ не є скалярним кратним

X (f)

$X(f)$ . Фільтрування!

— Діліп Сарват
джерело

Вибачте за затримку - як би я пішов звідси (що фільтрування є перешкодою) до необхідності, щоб фільтрація була згорткою двох сигналів? Я бачу це (алгебраїчно) із суми двох формул косинусів, але не можу зрозуміти причину.

— Том Кілі

Поясніть, будь ласка, що ви маєте на увазі під "фільтруванням - це перешкода". Я взагалі не розумію цього поняття

— Діліп Сарват

Що ж, ми щойно встановили (чи так?), Що додавання двох сигналів разом з різними фазами рівносильно фільтруванню із затримкою в часі, оскільки хвилі заважають. Як би я пішов (у часовій області) звідти до згортки?

— Том Кілі

Я досі не розумію питання.

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$ - вихід фільтра з імпульсною характеристикою

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$ чий внесок здається

x (t)

$x(t)$ , як було зазначено у відповіді Метта. Якщо ви хочете записати вихід у вигляді згортки, можете написати

у (т) = х ⋆ год = \int_{- \infty}^{\infty} х (т - у) год (у) г у = \int_{- \infty}^{\infty} х (т - у) [δ (у) + δ (у - Т)] г у

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$ де, оцінюючи інтеграли, використовуючи властивість просіювання імпульсів, ви отримуєте

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$ яку ви вже знали.

— Діліп Сарват

6

Якщо ви визначаєте (лінійну інваріантну) фільтрацію як згортку, то відповідь очевидна: суму сигналу та затримку його версії можна записати як згортку з імпульсною відповіддю $h(t)$ :

год (т) = δ (т) + δ (т - Т)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$ де

T

$T$ - це затримка між двома версіями сигналу.

— Метт Л.
джерело

4

Якщо затримка часу затримки доданої версії сигналу становить рівно один цикл будь-якого періодичного вмісту, то вихід буде додатково збільшений. Якщо затримка становить рівно половину періоду будь-якого синусоїдального компонента, то цей компонент буде руйнівно втручатися, і, таким чином, буде нульовий вихід із виходу. Якщо затримка дорівнює нулю, то сигнал буде подвоєний. Для частотних / фазових комбінацій, що знаходяться між повним руйнівним втручанням або повним доповненням, результат добавки також буде між ними.

Збільшення та зменшення виходу залежно від частотного вмісту входу є типовим фільтруванням.

— гаряча лапа2
джерело