Центрування нульової частоти для дискретного перетворення Фур'є

Я працюю над додатком для обробки зображень, який використовує дискретні перетворення фур’є для здійснення розмивання / різкості. Додаток більш-менш працює, але щось про механіку мене все ще бентежить.

Зокрема, саме так відбувається процес центрування нульових частот.

На прикладі я бачив попередньо обробляти вхідне зображення (інтенсивності сірого масштабу) шляхом множення його на матрицю розміру, рівну вхідному зображенню, значення якого , де - рядок, - стовпець, тому візерунок, що чергується і $(-1)^{x+y}$ $x$ $y$ $1$ $-1$

Згідно з примітками, це еквівалент заміни квадрантів матриці шляхом прогортання по осі і . $x$ $y$

Я розумію, чому це робиться, і я хотів би наголосити, я розумію, що в мене працює код / Фур’є, я просто не розумію, чому множення вхідної матриці на 1 / -1 закінчується центром нульової частоти компонента навколо 0.

Дякую

image-processing fourier-transform

— запаморочення
джерело

Ви також можете знайти посилання в главі 4, 4.6-Впровадження з цифрової обробки зображень Гонзалеса (у мене є друге видання). Сподіваюся, це допомагає.

— хакунамі

Відповіді:

Ой! Який крутий трюк! Це працює завдяки теоремі згортки (тобто множення в просторовій / часовій області еквівалентно згортці в частотній області.)

$x$ $y$

Ось тестове зображення: . Це перетворення Фур'є виглядає так: перетворення тестового зображення

Якщо взяти перетворення Фур'є змінного зображення ( зображення шахівниці ), це призводить до однієї точки в самому центрі Фур'є: введіть тут опис зображення . (Нагадаємо, ми ще не здійснили обертання, тому центром трансформації фур'є є високі частоти, а низькі частоти все ще в кутах.) Але це "ядро обертання!" Об'єднання за допомогою цього ядра обертання переміщує все вниз і вправо (але речі, які випадають праворуч знизу, повертаються вгору ліворуч.)

Згортка вихідного зображення з обертанням ядра (в області зображення) дає вам: переплетене зображення , в той час як згортку перетворенню Фур'є зображень з ядром обертання (в частотної області) дає вам: обертається трансформація фур'є .

І ми можемо перевірити , що множення testimage на шахівниці в області графічних зображень дає зображення множення , що має перетворення Фур'є: знову обертається трансформація фур'є .

— Блукаюча логіка
джерело

Я збентежений. Це використовується згортка для реалізації fftshiftфункції, подібної? Чи не обчислювально дешевше просто переставити 4 квадрати безпосередньо?

— ендоліт

Тут немає прямої згортки. Для цього використовується піксельне множення в області зображення, щоб отримати еквівалент згортки в області фур’є. Так, fftshiftне дуже дорого, але цей трюк може мати кращу поведінку кешу. Мультиплікація пікселів насправді просто перевертає знак кожного іншого пікселя. Так легко векторизувати, запис read-modify-write є гарантованим зверненням до кешу, і процесор легко попередньо вибирає прочитані.

— Мандрівна логіка

О так, це знаковий переворот, а не справжнє множення.

— ендоліт

Чому перетворення Фур'є тестового зображення (друге зображення) виглядає так? Я фактично бачу два зображення, чорне над іншим.

— хакунамі

Відповідь мандрівної логіки правильна і детальна. Я просто подумав, що ви хочете побачити математику замість фотографій:

$(-1)^k = e^{j\omega}$ $\omega$ $2\pi (k/2)$

Ефект полягає в тому, що нульова частота - яка раніше була в індексі 0 - зараз знаходиться на половині ширини зображення (або висоти, залежно від того, чи ви множите стовпці або рядки).

— німродм
джерело