Умови матриці попереднього кодування для збереження складної симметриї кон'югату на векторі DFT

Припустимо, існує вектор DFT довжиною N, який представляє складну сполучену симетрію навколо його середньої точки, тобто , тощо. і - це частота постійного струму і найквіста відповідно, тому справжні числа. Решта елементів складні.$\mathbf{X}$$X(1) = X(N-1)^*$$X(2) = X(N - 2)^*$$X(0)$$X(N/2)$

Тепер, припустимо, існує матриця , розміром , яка множує вектор X.$\mathbf{T}$$N \times N$

$$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$$

Питання:

В яких умовах для матриці збережена складна симетрія сполучених навколо середньої точки результуючого вектора ?$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

Мотивація цього питання намагається створити матрицю прекодера що призводить до попередньо закодованого (попередньо зрівняного) символу , IFFT справжній.$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

Редагувати:

Дякую @MattL. і @niaren. Складність цього питання полягає у пошуку необхідних умов. Відповіді Метта справді достатньо. Також достатньо внести такі зміни:

Перший рядок і перший стовпець не повинні дорівнювати нулю. Натомість вони можуть бути ненульовими, доки його значення представляють складну сполучену симетрію навколо середньої точки, його перше значення є реальним і його -ве значення є реальним, як і символ. Те ж саме можна вказати для -го стовпця, -го ряду та основної діагоналі.$(N/2+1)$$(N/2+1)$$(N/2+1)$

По-друге, однакове відповідність між матрицею у верхньому лівому куті та нижньому правому куті могло бути здійснено між верхнім правим кутом та лівим нижнім кутом, тобто обраним матриця, починаючи від до , переверніть зліва направо, переверніть догори дном і візьміть кон'югат, потім поставте в нижній лівий кут. На MATLAB це буде:$(N/2 -1)\times(N/2-1)$$t_{2,N/2 + 2}$$t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Ця структура схожа на структуру матриці DFT. Це була б необхідна умова?

EDIT (2):

У наведеному нижче коді реалізований такий дійсний оператор для будь-якої матриці mat реальному :$N \times N$$\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

EDIT (3):

Цікаво також зазначити, що також є достатньою умовою. Це пов'язано з тим, що:$\mathbf{T}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$$ де - матриця DFT.$\mathbf{W}$

Оскільки . Це рівняння стає:$\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$$

Нарешті, оскільки є реальним значенням, за умови, що є повним рангом, є достатнім.$\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}$$\mathbf{T}^{-1}$

Я думаю, що записи у вашій матриці повинні відповідати . Це говорить про те, що записи в рядку є такими ж, як і коефіцієнти в рядку n, але де коефіцієнти кон'юговані та зворотні. Шаблон у для є$\bf{T}$$a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$$N-n+1$$\bf{T}$$N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Я впевнений, що хтось придумає кращу і точнішу відповідь.

Якщо я не помиляюся, єдине рішення для $\mathbf{T}$ що не залежить від вектора $\mathbf{X}$ є діагональною (складною) матрицею, де діагональ задовольняє складну сполучену симетрію.

EDIT: Гаразд, я помилився. Діагональ - це добре, але це не обов'язково. Матриця$\mathbf{T}$ повинні мати таку загальну структуру: елементи $t_{11}$ і $t_{N/2+1,N/2+1}$повинні бути реальними (вони відповідають DC та Nyquist). Окремо від$t_{11}$перший рядок і стовпець містять лише нулі. Для елементів$t_{22}$ до $t_{N/2,N/2}$ обрали арбітраж $(N/2-1)\times (N/2-1)$матриця. Потім використовуйте цю матрицю арбітражу, щоб сформувати нову матрицю, замінивши всі рядки (перший рядок стає останнім, другий ряд стає другим останнім тощо), перевернувши рядки зліва направо та кон'югуючи. Потім помістіть цю підматрицю в правий нижній кут загальної матриці$\mathbf{T}$. Усі інші елементи$\mathbf{T}$має бути нульовим. Я усвідомлюю, що це безглуздо зрозуміти без візуалізації, тому я додам його пізніше, коли матиму більше часу.