Як спочатку були задумані вікна?

Мені відомі поширені типи вікон (Hamming, Hanning, Kaiser, Tukey тощо). Однак, хоча багато книг описують їх, майже жодна не каже мені, як саме вони були отримані.

Що таке святе у вікні забивання? А як щодо ханнінга? Я розумію, що всі вони грають на співвідношенні ширини магістральної магістралі VS затухання бокової матки, але як саме вони були отримані?

Мотивація мого запитання полягає в тому, що я намагаюся зрозуміти, чи можна створити власні вікна, які також відтворюють основну ширину долі та енергію бічної долі.

Це лише часткова відповідь, але в Інтернеті є лекція, де Хеммінг розповідає про те, як він придумав своє однойменне вікно. Початок приблизно в 15:15 дає повний контекст.

Маючи досить розважальну історію, він приписує Джона Тукі винахід теорії вікон (для аналізу спектру). Однак він вводить всю тему в контексті використання сигма-факторів Ланцоса для зменшення явища Гіббса . Крім того, у статті «Мистецтво займатися наукою та технікою» (на основі тих же лекцій) він описує, як його вікно є варіацією вікна Ханна , яке, на його думку, використовувалося фон Ханном в економіці (задовго до його застосування в обробці сигналів ). Це говорить про те, що історія йде набагато далі, залежно від того, як ви її хочете визначити.

Книга, де Тукі вперше назвав вікно Хеммінга, - це Вимірювання спектрів потужності з точки зору інженерії зв'язку . Зважаючи на твердження Хеммінга, що Тукі винайшов теорію вікон, це, мабуть, було б гарним місцем для глибшого розуміння способів проектування нових. Я думаю, що книга - це лише передрук частини I та ІІ частини його статті про технічний журнал Bell System, тому вона доступна в Інтернеті.

Ось ще одна часткова відповідь, здебільшого щодо проектування користувальницьких вікон. Я придумав це, роблячи щось, що (як я зараз знаю, але тоді не було) називається "віконце в частотній області". Потім, прочитавши кілька оригінальних статей про віконце, я зрозумів, що це, мабуть, в першу чергу було задумано деякі вікна, але я не маю реальних базових знань.

Почніть з прямокутного вікна і подивіться на його перетворення Фур'є, функцію sinc:

Тепер масштаб і (частотна) зміщення двох з них, так що бокові часточки мають тенденцію до скасування один одного, коли їх додають разом:

(Результат зеленого кольору; вибачте за погану якість та марну легенду.)

Як бачите, бічні часточки не тільки зменшуються загалом, вони також набагато швидше скочуються.

$\cos(\pi t)$

Повторіть цей процес, і ви отримаєте все кращі та кращі згортання ціною більш широкої основної долі:

$(\cos(\pi t))^2$$n$$(\cos(\pi t))^n$$n=4$$n$

Серед вікон Блекмена-Гарріса вони дають найшвидший відкат бокової долі. (Я почав записувати доказ цього, але навіть не закінчив, тому що, як обчислити згортання та інші параметри, здається, загальновідомим експертам.)

Якщо ви хочете оптимізувати щось інше, ніж згортання, ви можете почати з вікна, у якому достатньо згортання, а потім зробити щось подібне до вищезгаданого, але масштабувати та змінювати іншим способом (зазвичай, використовуючи три терміни замість двох) . Це дозволить зберегти згортання точно таким же чином, але це дозволяє, наприклад, зменшити перші бічні часточки.

Сподіваюся, це допомагає. Весело.

Більшість відомих вікон були розроблені більш-менш спеціально, виходячи з певного поняття плавності у часовій області. Наскільки я знаю, є два вікна, які в деякому сенсі є оптимальними: вікно Чебишева, яке мінімізує максимальний рівень бокової долі (не енергія!), І пролат-сфероїдальне вікно, що максимально співвідношує енергію між магістральною та бічною частинами. Є цікава стаття про дизайн вікон у частотній області. У ньому обговорюється алгоритм, який мінімізує енергію бокової долі з обмеженнями на максимальному рівні бокової долі, тобто це суміш між Чебишевим і пролат-сфероїдальним вікном. Це документ: Нове оптимальне вікно від JW Adams.