Вибірка функції Дірака

9

Я хотів би задати теоретичне запитання щодо функції Дірака. Перетворення Фур'є функції Дірака - це значення 1 (DC) для кожної частоти. Якщо ми розглянемо теорему вибірки, ми повинні знайти максимальну частоту в сигналі $\ f_{max}$ , щоб ми могли спробувати вибірку $\ f_s \ge \ 2f_{max}$ . Але як ми бачимо з його перетворення Фур'є, функція Dirac містить кожну частоту, тому ми не можемо знайти відповідну $f_s$ . Моє запитання: чи можна з теоретичної точки зору можна відібрати вибірку функції Дірака?

Редагувати: Дякую за корисні відповіді, хлопці!

sampling

— Георгій Церес
джерело

1

У цифровій земельній послідовності послідовність x [n] = (1, n = 0) (0, інакше) виконує більшість завдань, які діють діаграми в аналоговому світі. Це основна функція згортання, має плоску частотну характеристику і є імпульсною характеристикою "дроту". Це насправді одне, що простіше в цифровому

— Хільмар

особисто, я вважаю, що більш лаконічна відповідь - «Ні, диракський імпульс, $\delta(t)$ , не може бути відібрано на вибірку $t=0$ тому що немає значення, яке приймає функція (або розподіл) $t=0$ . » Там немає дельти - функції Дірака в фізичному світі, тільки наближення до неї , так що немає нічого зразок ..

— Роберт Брістоу-Джонсон

7

Будь-який сигнал може бути відібраний незалежно від того, тримається чи ні теорема вибірки. Теорема вибірки говорить про те, що якщо швидкість вибірки є достатньою, то зразки представляють повний вихідний сигнал.

Сигнали з розривами або, що ще гірше, такі розподіли, як $\delta(t)$ , не обмежені смугою, тому гіпотеза теоретичної вибірки ніколи не буде дотримана.

Також зауважте, що звичайна демонстрація теореми вибірки включає множення сигналу на імпульсний потяг. Я вважаю, що це виключає взагалі сигнали про розповсюдження, оскільки продукти дистрибуції недостатньо визначені .

На практиці уявіть вибірку $\delta(t)$ у $t=0$ . Цей зразок має невизначене значення.

— Хуанчо
джерело

"Будь-який сигнал може бути відібраний" - добре, алгоритм вибірки може бути застосований до будь-якого сигналу , так, але насправді називання цього процесу "вибіркою" може, залежно від контексту, вже стверджувати, що ви очікуєте, що зможете відновити сигнал з результат, тобто виконання передумов для теореми вибірки.

— близько

8

Я повністю згоден з відповіддю Хуанчо. Я просто хотів би додати кілька речей. Я думаю, що головною проблемою є непорозуміння, яке стає очевидним в останньому реченні питання: "... чи можна вибірки функції Дірака?" Імпульс Дірака НЕ є звичайною функцією, яка має певні значення для кожного $t$ , але це розподіл (хоча його часто називають "функцією Дірака"). Тому не слід намагатися «оцінювати» (або вибірковувати!). Важливим для імпульсу Дірака є його цілісні властивості:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t) d t = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$ і

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) f (t) d t = f (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$

Як уже вказував Хуанчо, квадрат імпульсу Дірака $\delta^2(t)$ не визначено. Отже, якби ви пробили імпульс Дірака, ви отримали б невизначений результат

\sum_{н} δ (т - н Т) δ (т) = δ^{2} (т)

$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$

Діракові імпульси - це зручний інструмент для аналізу лінійних інваріантних за часом систем, але до них слід ставитися обережно, оскільки загальні типи обробки, що виконуються на звичайних сигналах (наприклад, вибірки), можуть призвести до невизначених і безглуздих результатів при застосуванні до імпульсів Дірака.

— Метт Л.
джерело

2

Інформація, яку несе Дірак, - це його місцезнаходження та інтенсивність. Vetterli та ін. покажіть, як можна відібрати сигнал, поданий сумою N діарок:

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

Відбір проб $x(t)$ в цьому контексті означає одужання $r_i$ і $t_i$ для $i=0,\ldots,N-1$ . Коротше кажучи, це робиться за допомогою низькочастотної фільтрації $x(t)$ та використовуючи стандартні методи спектральної оцінки. Детальніше дивіться:

Blu, Thierry та ін. "Рідкий вибірки інновацій сигналу." Журнал обробки сигналів, IEEE 25.2 (2008): 31-40.

— Арріго
джерело