Фільтр FIR з лінійною фазою, 4 типи

Я знаю, що є 4 типи фільтрів FIR з лінійною фазою, тобто постійною груповою затримкою: (M = довжина імпульсного відгуку)

1. Імпульсна відповідь симетрична, M = непарна

2. Імп. респ. симетричний, M = рівний

3. Імп. респ. антисиметричний, M = непарний

4. Імп. респ. антисиметричний, M = рівний

кожен зі своїми рисами. Який із цих типів найчастіше використовується у фільтрі FIR з лінійною фазовою конструкцією і чому? :)

Вибираючи один з цих 4 типів лінійних фазових фільтрів, слід враховувати в основному 3 речі:

1. обмеження на нулі $H(z)$ при $z=1$ і $z=-1$

2. ціла / не ціла група затримки

3. зсув фази (крім лінійної фази)

Для фільтрів типу I (непарна кількість дотиків, навіть симетрія) немає обмежень на нулі при $z=1$ і $z=-1$ , фазовий зсув дорівнює нулю (крім лінійної фази), а затримка групи - ціле число значення.

Фільтри типу II (парне число дотиків, навіть симетрія) завжди мають нуль при (тобто половина частоти вибірки), вони мають нульовий фазовий зсув, і вони мають не цілу групову затримку.$z=-1$

Фільтри типу III (непарна кількість відводів, непарна симетрія) завжди мають нулі при і z = - 1 (тобто при f = 0 і f = f s / 2 ), вони мають фазовий зсув 90 градусів і ціле число групова затримка.$z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

Фільтри типу IV (парна кількість дотиків, непарна симетрія) завжди мають нуль при , фазовий зсув 90 градусів і неціла група затримки.$z=1$

Це означає (серед іншого) таке:

• Фільтри типу I досить універсальні, але їх не можна використовувати, коли необхідний зсув фази на 90 градусів, наприклад, для диференціаторів або трансформаторів Гільберта.

• Фільтри типу II, як правило, не використовуються для високочастотних або смугових стоп-фільтрів через нуль при , тобто при f = f s / 2 . Їх також не можна використовувати для програм, де необхідний фазовий зсув на 90 градусів.$z=-1$$f=f_s/2$

• Фільтри типу III не можна використовувати для стандартних частотних селективних фільтрів, оскільки в цих випадках фазовий зсув 90 градусів зазвичай небажаний. Для трансформаторів Гільберта фільтри типу III мають відносно погану апроксимацію величини при дуже низьких і дуже високих частотах через нулі при і z = - 1 . З іншого боку, трансформатор Гільберта типу III може бути реалізований ефективніше, ніж трансформатор Гільберта типу IV, оскільки в цьому випадку кожен інший кран дорівнює нулю.$z=1$$z=-1$

• $z=-1$

• У деяких додатках бажано затримати цілу групу. У цих випадках переважні фільтри типу I або III.

$z=1$

Аналогічно, якщо ваш фільтр є низькочастотним, застосовуються типи 1 і 2.

Отже, це залежить від типу фільтра, який потрібно спроектувати, а не від того, який є більш поширеним.

$e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$

Що стосується реалізації, всі 4 типи можна реалізувати ефективно, не повторюючи однакові коефіцієнти двічі.

Вам, звичайно, потрібна вся лінія затримки розміру M. Але замість того, щоб множити кожен з випусків крана на власний коефіцієнт, ви спочатку додаєте (або віднімаєте) два відповідні виходи, а потім помножуєте лише один раз на коефіцієнт.

$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$

Оскільки вже є дві дуже приємні відповіді, я наведу кілька основних прикладів, з яких можна перевірити властивості, наведені в інших відповідях. Нульові місця та фазова відповідь безпосередньо доступні.

симетричний, M = непарний

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

симетричний, M = рівний

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

$h[N/2] = 0$

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

antisymmetrical, M=even

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1] a good reference mitrappt