Які математичні засоби існують для розуміння модульованого шуму?

Припустимо, у нас є сигнал $n$ який складається з гауссового білого шуму. Якщо ми модулюємо цей сигнал, помноживши його на , отриманий сигнал все ще має спектр потужності білого кольору, але очевидно, що шум зараз "збивається" в часі. Це приклад циклостаціонарного процесу . $\sin 2\omega t$

х (т) = н (т) гріх 2 ω т

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

Припустимо, що ми зараз демодулюємо цей сигнал на частоті шляхом змішування з синусоїдними та косинусними локальними осциляторами, утворюючи сигнали I та Q: $\omega$

I = x (t) \times \sin ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = x (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

Наївно спостерігаючи, що спектр потужності (прийнятий за часовий інтервал, значно більший за ), є білим, ми очікували б, що і містять білий гауссовий шум однакової амплітуди. Однак насправді відбувається те, що квадратура вибірково відбирає частини часових серій з великою дисперсією, тоді як , дев'яносто градусів поза фазою, відбирає нижню частину дисперсії: $x(t)$ $1/f$ $I$ $Q$ $I$ $x(t)$ $Q$

модульоване зображення шуму

Результатом є те , що спектральна щільність шуму в I є раз більше , ніж . $\sqrt{3}$ $Q$

Очевидно, що повинно бути щось поза спектром потужності, що є корисним для опису модульованого шуму. У літературі моєї галузі є ряд доступних праць, що описують вищезазначений процес, але я хотів би дізнатися, як до нього ставляться більш загально спільноти обробки сигналів / ЕЕ

Які корисні математичні засоби для розуміння та маніпулювання циклостаціонарним шумом? Будь-які посилання на літературу також будуть вдячні.

Список літератури:

Niebauer et al, "Нестаціонарний шум при пострілі та його вплив на чутливість інтерферометрів". Фіз. Преподобна А 43, 5022–5029 .

noise modulation cyclostationary-random-process

— nibot
джерело

Для отримання результатів, які ви показуєте, ваш демодулятор повинен перетворити конверсію на ту саму частоту несучої,

, а не просто

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— Jason R

@ Джейсон R, Ах, я бачу, я помилився з оригінальною модуляцією

. Це пов’язано з помилкою в переході від шуму Пуассона на шум Гаусса.

2 ω

$2\omega$

— nibot

Я точно не впевнений, що ви шукаєте тут. Шум, як правило, описується через його спектральну щільність потужності або еквівалентно функцію автокореляції; функція автокореляції випадкового процесу та його PSD - пара перетворення Фур'є. Наприклад, білий шум має імпульсну автокореляцію; це перетворюється на плоский спектр потужності в області Фур'є.

Ваш приклад (хоча дещо недоцільно) є аналогом приймача зв'язку, який спостерігає модульований білим шумом несучий при частоті носія $2 \omega$ . Прикладному приймачу дуже пощастило, оскільки він має свій генератор, когерентний тому, що і передавач; між синусоїдами, що утворюються на модуляторі та демодулятором, немає фазового зсуву, що передбачає можливість «ідеального» перетворення вниз до базової смуги. Це само по собі непрактично; існують численні структури для когерентних приймачів зв'язку. Однак шум, як правило, моделюється як допоміжний елемент каналу зв'язку, який не пов'язаний з модульованим сигналом, який приймач прагне відновити; нечасто передавач насправді передає шум як частину свого модульованого вихідного сигналу.

Однак, якщо це не виходить, погляд на математику, що стоїть за вашим прикладом, може пояснити ваше спостереження. Для того, щоб отримати результати, які ви описуєте (принаймні в оригінальному запитанні), модулятор і демодулятор мають осцилятори, які працюють на однаковій опорній частоті та фазі. Модулятор виводить наступне:

\begin{aligned} n (t) & \sim N (0, σ^{2}) \\ x (t) & = n (t) \sin (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

Приймач генерує перетворені сигнали I та Q таким чином:

\begin{aligned} I (t) & = x (t) \sin (2 ω t) = n (t) \sin^{2} (2 ω t) \\ Q (t) & = x (t) \cos (2 ω t) = n (t) \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

Деякі тригонометричні тотожності можуть допомогти тілу з і ще декілька: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} \sin^{2} (2 ω t) & = \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) & = \frac{\sin (4 ω t) + \sin (0)}{2} = \frac{1}{2} \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

Тепер ми можемо переписати перетворену сигнальну пару як:

\begin{aligned} I (t) & = n (t) \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ Q (t) & = \frac{1}{2} n (t) \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

Вхідний шум - нульовий середній, тому і також є нульовими середніми. Це означає, що їх відхилення: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{I (t)}^{2} & = E (I^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) = E (n^{2} (t)) E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) \\ σ_{Q (t)}^{2} & = E (Q^{2} (t)) = E (n^{2} (t) \sin^{2} (4 ω t)) = E (n^{2} (t)) E (\sin^{2} (4 ω t)) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

$I(t)$ $Q(t)$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2})}{E (\sin^{2} (4 ω t))}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

$n(t)$ $t$ $\sqrt 3$

$4 \omega$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ((\frac{1}{2})^{2})}{E (0)} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

Це мета когерентного приймача квадратурної модуляції: сигнал, який розміщується у фазовому (I) каналі, передається в I-сигнал приймача без витоку в сигнал квадратури (Q).

$\omega\$ $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ $B$

$x(t)$ $R(t, \tau)$

R (t, τ) = E (x (t) x (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ)))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ)) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

Because of the whiteness of the original noise process $n(t)$ , the expectation (and therefore the entire right-hand side of the equation) is zero for all nonzero values of $\tau$ .

R (t, τ) = σ^{2} δ (τ) \sin^{2} (2 ω t)

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

The autocorrelation is no longer just a simple impulse at zero lag; instead, it is time-variant and periodic because of the sinusoidal scaling factor. This causes the phenomenon that you originally observed, in that there are periods of "high variance" in $x(t)$ and other periods where the variance is lower. The "high variance" periods are selected by demodulating by a sinusoid that is coherent with the one used to modulate it, which stands to reason.

— Jason R
джерело

Re: "This is the goal of a coherent quadrature modulation receiver..." -- this is true only if the original signal is band-limited to frequencies less than the carrier frequency, right?

— nibot

Re: "Noise is typically described via its power spectral density, or equivalently its autocorrelation function". This cyclostationary noise (

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$ ) is spectrally white and has a

δ (t)

$\delta(t)$ autocorrelation function, just like regular (stationary) Gaussian noise. I am looking for a description that encapsulates its cyclostationary nature.

— nibot

I edited the answer to talk about your two comments.

— Jason R

@Jason, good post. I am trying to understand however, the part where you talk about the cyclostationarity process. I am having a hard time understanding why 't' here is a function of R... - after the expectation operator, there is no 't' (time) variable anymore... only a function of tau.

— Spacey

@Jason nevermind, I just realized 't' must be there since the statistics change with time, (albeit cyclically), and so therefore the autocorr function will also be a function of time and delay... but what I do not understand in this case is how you got the delta*sin^2 ... does this warrant an actual question for me to post?

— Spacey