Чи відповідає асиметрична матриця Бернуллі RIP?

Визначте ан $n\times N$ матриця зондування $A$ від $A_{ij} = 0$ з вірогідністю $p$ , і $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ з вірогідністю $1-p$ . Чи $A$ задовольнити властивість обмеженої ізометрії ?

Для довідки, симетричний випадок відповідає у наступній роботі:

Р. Р. Баранюк, М. А. Давенпорт, Р. А. ДеВоре та М. Б. Вакін, "Просте доказ властивості обмеженої ізометрії для випадкових матриць", Конструктивне наближення, 28 (3) с. 253-263, грудень 2008 р. ( Pdf )

compressive-sensing

— олівія
джерело

Це може бути вказівник: ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379 (на жаль, це оплачується, і я не знайшов його копії OA). Я детально не знаю документа, але те, що я можу побачити, - це те, що вони не вважають загальною справою, як ви просите; вони вважають p = 1/2. Також я не знаю, наскільки ретельно вони ставляться до РІП таких матриць.

— Томас Арільдсен

Це також може бути підказкою: rauhut.ins.uni-bonn.de/RauhutSlidesLinz.pdf (стор. 98). На жаль, схоже, що він називає Бернуллі випадкові змінні випадкові +/- 1 - не 0/1 (я би назвав цих Rademacher).

— Томас Арільдсен

Дозвольте повторити зміст коментаря, який я зробив на ідентичному дописі (тепер видалено) на stats.SE : Це допоможе зробити це питання більш точним та вказати, що саме вас цікавить і що ви намагаєтесь адаптувати. Коментар @Thomas релевантний; ми також не знаємо, яка ступінь (тобто порядок) рідкості вас цікавить. Навіть якщо ми розглянемо функції Радемахера, відповідь явно не відповідає жодній формі (в

p

$p$ ) сенс, нехай

p

$p$ бути

1

$1$ (або, достатньо близько), так що існує (велика ймовірність), що підматриця є усіма. (продовж.)

— кардинал

Вибравши послідовність

p_{n} \in (0, 1)

$p_n \in (0,1)$ як функція

n

$n$ , для деяких це буде справдитися

p

$p$ для будь-якої матриці розмірів. З іншого боку, для фіксованих

p

$p$ , якщо, ми модифікуємо конструкцію так, що

A_{i j} = (1 - p) / \sqrt{n}

$A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$ з вірогідністю

p

$p$ і

- p / \sqrt{n}

$-p/\sqrt{n}$ з вірогідністю

(1 - p)

$(1-p)$ , то відповідь однозначно " так" , оскільки це випливає з набагато більш загальної теорії, пов'язаної з нульовою середньою підгаусійською випадковою матрицею.

— кардинал

спасибі @cardinal, матриця

A

$A$ не є нульовою середньою, але теорія підгаусських випадкових матриць відповідає на це питання. Мені було цікаво, як

A

$A$ може задовольнити RIP, враховуючи, що це не зберігає норму, але очевидно, що існує відповідне масштабування

A

$A$ що робить

— Олівія

Як заявили в коментарях інші, відповідь - «Ні». Ненульове середнє значення матриці диктує, що ненульовий середній вектор (скажімо, всі) матиме значно більший коефіцієнт посилення, ніж випадковий вектор з нульовим середнім значенням (скажімо, рівномірно випадковий + 1, -1).

Розглянемо норму квадрата A разів, коли очікується, що постійний вектор y буде n * (p * N) ^ 2. (ітерація очікувань)

Норма квадрата A разів вектор x, проведений рівномірно (-1, + 1), очікується, буде n * (p * N). (обчислюється за сумою дисперсій біноміального розподілу)

Норми х і у є однаковими, але очікування перетворених норм відрізняються на коефіцієнт p * N - розходяться по мірі збільшення розмірів.

Ось код matlab, який допоможе продемонструвати.

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;

— Марк Боргердінг
джерело