Які фільтри IIR наближаються до фільтра Гаусса?

Тому нещодавно мені зрозуміло, що фільтри Бесселя, незважаючи на те, що вони перераховані разом з іншими поширеними типами, насправді є диваком, який належить до іншого "класу", і я намагаюся дізнатися більше про нього.

Відгук прямокутної величини представляє ідеальну частотну характеристику домену, для смуги переходу дорівнює нулю, а смуга зупинки має нескінченне загасання. Реакція за величиною Гаусса, з іншого боку, являє ідеальну реакцію в часовій області, оскільки в імпульсній реакції та ступінчастій реакції не виникає промальовування. Багато відповідей, отриманих на практиці, є наближенням до цих ідеальних ^джерел

Таким чином, фільтр цегляної стіни - це згортання з функцією sinc і має такі властивості частотної області:

• Плоска смуга пропускання
• Нульова зупинка
• Нескінченна швидкість відкату / без смуги переходу

Це безпричинно і нездійсненно через нескінченні хвости в обох напрямках. Це наближається цими фільтрами IIR, а наближення покращується зі збільшенням порядку:

• Баттерворт (максимально рівна пропускна здатність)
• Чебишев (максимальний коефіцієнт відкату із зупинкою або пульсацією прохідної смуги)
• Еліптичний (максимальний коефіцієнт відкатки із пульсацією зупинки та пропускною смугою)
• Legendre (максимальна швидкість відкатки з монотонною пропускною здатністю)

Фільтр Гаусса є згортка з функцією Гаусса, і має наступні властивості тимчасової області:

• Нульовий перегін
• Мінімальний час підйому та падіння
• Мінімальна групова затримка

Це нездійсненно з тих же причин, що і функція sinc, і їх можна наблизити за допомогою цих фільтрів IIR, ближче до збільшення порядку:

• Бессель (максимально рівна затримка групи) ^{відповідно до 1 і 2}

$e^{-{1 \over 2}(\pi \omega)^2}$

Отже, мої запитання:

Чи все в порядку досі? Якщо так, то чи існують інші фільтри IIR, які наближають Гаусса? Для чого вони оптимізовані? Можливо, такий, що мінімізує перебіг?

Якщо ви шукаєте "IIR Gaussian", ви можете знайти кілька речей (Deriche? Van Vliet?), Але я не знаю, чи вони насправді такі, як Bessel, чи вони оптимізують для якоїсь іншої власності тощо.

Deriche і ван Vliet фільтри евристики. В обох випадках вони вибирають розташування полюсів і нулів, щоб мінімізувати або різницю RMS, або максимальну різницю імпульсної відповіді фільтра від Гаусса.

Обидва фільтри є причинно-наслідковими. Тому я думаю, що у них немає фазової помилки або групової затримки, але вам потрібно мати можливість запускати їх назад на даних, а також вперед. Це робить їх популярними в обробці зображень, але, можливо, обмежує їх застосування в інших місцях.

Про те, що вони є евристикою, свідчить багатство паперів, які їх підганяють. Наприклад, пошук у Google (поки я шукав посилання на папір Деріче) виявив цей, який намагається вирішити проблему, що фільтр дерива-гаусса Деріче не має точно 0 відповідей постійного струму. Існує також кілька цікавих питань щодо правильної ініціалізації граничних умов .

Я знайшов такий огляд хорошим ресурсом: Дейв Хейл, рекурсивні гауссові фільтри , Центр шкільних шахт Колорадо, Центр хвильових явищ CWP-546.

Я думаю, ви дали хороший підсумок існуючих аналітичних рішень для фільтрів IIR дискретного часу. Але я також би додав фільтри Бесселя до списку фільтрів, що наближаються до ідеальних частотно-селективних характеристик фільтра. Його величина відгуку не показує такий різкий перехід, як інші типи фільтрів того ж порядку, але це ціна, яку ви платите за майже лінійну фазу в смузі пропускання. Таким чином, фільтр Бесселя є компромісом між частотно-селективною характеристикою величини та хорошою фазовою характеристикою.

Для наближення фільтра Гаусса до фільтрів IIR я не знаю жодних аналітичних рішень, окрім фільтра Бесселя, який ви згадали. Але зауважте, що фільтр Бесселя не мав на меті наблизити фільтр Гаусса, тому я не впевнений, наскільки це насправді в наближенні такого фільтра. Якщо ви дійсно хочете для цієї мети фільтр IIR, я б запропонував вам скористатися числовим наближенням фільтра Гаусса. Існує кілька варіантів, як це зробити.

Ви можете спробувати наблизити фільтр Гаусса до частотної області. Проблема полягає в тому, що вам потрібно прийняти якесь рішення щодо бажаної фазової реакції. Чисте наближення величини з мінімальною фазовою характеристикою дуже ймовірно призведе до дуже поганих властивостей часової області. Якщо вказати потрібну лінійну фазу, то ви отримаєте складну задачу наближення (оскільки ви наближаєте складну частотну характеристику за величиною та фазою). Незважаючи на те, що таку проблему наближення можна вирішити досить важко, в літературі існують методи.

Більш простий і, мабуть, кращий підхід - наближення фільтра Гаусса у часовій області. Метод Проні був би хорошою відправною точкою.

Зверніть увагу, що це лише мої думки з цієї теми. Я не намагався самостійно розробити фільтр Гаусса IIR. Я б фактично пішов на реалізацію ПДЧ, якщо немає дуже вагомих причин проти цього.

Редагувати: лише кілька зауважень щодо питання, чи фільтр Бесселя наближається до гаусса чи ні. Я не знаю жодного змістовного критерію помилки, який фільтр Бесселя мінімізує при наближенні до фільтра Гаусса. Я був би радий дізнатися про це. Люди можуть стверджувати, що імпульсна характеристика фільтра Бесселя схожа на Гауссова, або що його частотна характеристика нагадує Гаусса, але я ще не бачив жодного доказу того, що фільтри Бесселя наближаються до Гаусса в будь-якому сенсі, і що помилка наближення йде до нуль, оскільки порядок фільтра збільшується. Я не заперечую, що він більше схожий на гаусса, ніж інші стандартні фільтри (Баттерворт, Чебишев тощо), але це не важливо для питання.

Дивіться нижче чотири сюжетні імпульсні реакції фільтрів Бесселя (порядки 5, 10, 15, 20), розроблені в Octave (функція сама). Як бачите, дзвінок у хвості не зменшується зі збільшенням порядку фільтру, і я не бачу, як ці фільтри наближаються до гаусса, і якщо так, то за яким критерієм оптимальності. Однак, якщо хтось може просвітити мене з цього приводу, я був би більш ніж щасливий.