Як знайти згладжені оцінки похідної та другої похідної сигналу?

10

У мене сигнал відібраний у : де . Я хочу знайти першу та другу похідні сигналу: і . $\Delta t$ $f_i(t_i=i\Delta t)$ $i = 0,\ldots,n-1$ $f'(t)$ $f''(t)$

Моя перша думка полягала в оцінці похідних за центральними відмінностями:

\begin{aligned} f^{'} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - f (t_{i - 1})}{2 Δ t} \\ f^{″} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - 2 f (t_{i}) + f (t_{i - 1})}{(Δ t)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} f'(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{2\Delta t}\\ f''(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-2f(t_{i})+f(t_{i-1})}{(\Delta t)^2} \end{align}$

Однак сигнал може мати багато високочастотного шуму, що може спричинити швидкі коливання $f'$ і $f''$ .

Який був би найкращий спосіб знайти «згладжені» оцінки $f'$ і $f''$ ?

filters smoothing

— Енді
джерело

6

Це, мабуть, більше залежить від ваших даних. Тільки знайте, оскільки диференціація - це лінійна операція, якщо ви вибираєте будь-який лінійний фільтр для згладжування f 'і f' ', він еквівалентний згладжуванню f за допомогою того самого фільтра, а потім його похідні.

Чи можете ви розмістити кілька зображень або більше інформації про сигнал, який ви хочете розрізнити? Можливо, ви шукаєте якийсь фільтр низьких частот, щоб згладити сигнал. Кілька по-справжньому простих варіантів включають однополюсний рекурсивний фільтр, як , або фільтр Ханна, який просто поєднує сигнал з вікна Ханна. Варіант фільтру Ханн хороший тим, що він лінійно-фазний. Якщо ви знаєте діапазон частот, який вам важливий, ви можете просто розробити відповідний фільтр низьких частот у частотній області. $y(n) = a \cdot x(n) + (1-a) \cdot y(n-1)$

— шнарф
джерело

Дякую шнарфу! Отже, оскільки згладжування з подальшою диференціацією дорівнює диференціації з наступним згладжуванням; Я можу так само згладити оригінальний сигнал, залучаючи, наприклад, вікно Ханна? Як щодо простішого підходу використання кінцевої різниці в більшій проміжку: f '(t) ~ = [f (t + 10 * Dt) -f (t-10 * Dt)] / (20 * Dt), чи це дати досить хорошу оцінку згладженої похідної?

— Енді

4

Савицький-Гол фільтр забезпечує плавні оцінки сигналу і перші похідних.

Реалізація MATLAB можна знайти тут .

— еглазер
джерело