Яка частота відсічення фільтра, що рухається, середнього?

Мені потрібно розробити середній фільтр, котрий має частоту відсікання 7,8 Гц. Раніше я використовував фільтри з ковзними середніми, але, наскільки мені відомо, єдиний параметр, який можна подати, - це кількість балів, які потрібно усереднювати ... Як це може стосуватися частоти відсічення?

Зворотний показник 7,8 Гц становить ~ 130 мс, і я працюю з даними, відібраними в 1000 Гц. Чи означає це, що я повинен використовувати середній вікно фільтру, що рухається, середнього розміру 130 зразків, чи є мені щось інше?

Ковзаючий середній фільтр (іноді розмовно відомий як фільтр боксерського автомобіля ) має прямокутний імпульсний відгук:

$$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$$

Або заявлено інакше:

$$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$$

Пам’ятаючи, що частотна характеристика системи дискретного часу дорівнює дискретному перетворенню Фур’є в її імпульсній реакції, ми можемо обчислити її наступним чином:

$$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$$

Щоб спростити це, ми можемо використовувати відому формулу для суми першого $N$ доданків геометричного ряду :

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$$

Що нас найбільше цікавить у вашому випадку - це величина відгуку фільтра, . Використовуючи пару простих маніпуляцій, ми можемо отримати це у більш легкій для розуміння формі:$|H(\omega)|$

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$$

Це може бути не легшим для розуміння. Однак, завдяки особі Ейлера, нагадайте , що:

$$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$$

Тому ми можемо написати вище:

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$$

Як я вже говорив раніше, те, що вас насправді хвилює, - це величина частотної характеристики. Отже, ми можемо скористатись величиною вищезазначеного, щоб спростити його далі:

$$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$$

$|e^{j\omega}| = 1$$\omega$$|xy| = |x||y|$$x$$y$

The resulting function inside the magnitude brackets is a form of a Dirichlet kernel. It is sometimes called a periodic sinc function, because it resembles the sinc function somewhat in appearance, but is periodic instead.

Anyway, since the definition of cutoff frequency is somewhat underspecified (-3 dB point? -6 dB point? first sidelobe null?), you can use the above equation to solve for whatever you need. Specifically, you can do the following:

1. Set $|H(\omega)|$ to the value corresponding to the filter response that you want at the cutoff frequency.

2. Set $\omega$ equal to the cutoff frequency. To map a continuous-time frequency to the discrete-time domain, remember that $\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$, where $f_s$ is your sample rate.

3. Find the value of $N$ that gives you the best agreement between the left and right hand sides of the equation. That should be the length of your moving average.

If $N$ is the length of the moving average, then an approximate cut-off frequency $F_{co}$ (valid for $N >= 2$) in normalized frequency $F=f/fs$ is:

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

The inverse of this is

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

This formula is asymptotically correct for large N, and has about 2% error for N=2, and less than 0.5% for N>=4.

P.S.: After two years, here finally what was the approach followed. The result was based on approximating the MA amplitude spectrum around $f=0$ as a parabola (2nd order Series) according to

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

which can be made more exact near the zero crossing of $MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$ by multiplying $\Omega$ by a coefficient

$\alpha=0.95264$

obtaining $MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

The solution of $MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$ gives the results above, where $2\pi F_{co}=\Omega_{co}$.

All of the above relates to the -3dB cut off frequency, the subject of this post.

Sometimes though it is interesting to obtain an attenuation profile in stop-band which is comparable with that of a 1st order IIR Low Pass Filter (single pole LPF) with a given -3dB cut off frequency (such a LPF is also called leaky integrator, having a pole not exactly at DC but near to it).

In fact both the MA and the 1st order IIR LPF have -20dB/decade slope in the stop band (one needs a larger N than the one used in the figure, N=32, to see this), but whereas MA has spectral nulls at $F=k/N$ and a $1/f$ evelope, the IIR filter only has a $1/f$ profile.

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

If one wants to obtain an MA filter with similar noise filtering capabilities as this IIR filter, and matches the 3dB cut off frequencies to be the same, upon comparing the two spectra, he would realize that the stop band ripple of the MA filter ends up ~3dB below that of the IIR filter.

In order to get the same stop-band ripple (i.e. same noise power attenuation) as the IIR filter the formulas can be modified as follows:

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$