Чи можете ви використовувати Pi як сирий генератор випадкових чисел?

Нещодавно я зустрічався з цим питанням на math.SE. Це змусило мене задуматися. Чи можна Пі використати як генератор сирого випадкового числа? Я маю на увазі результати добре відомі (скільки часу обчислювались пі?), Але, здається, Pi є цілком випадковим, коли брати 1 цифру за один раз.

Чи має це взагалі сенс?

Копати з http://www.befria.nu/elias/pi/binpi.html, щоб отримати двійкове значення pi (щоб було легше конвертувати в байти, а не намагатися використовувати десяткові цифри), а потім запустити його через ent Для аналізу випадкового розподілу байтів я отримую наступне:

Ентропія = 7.954093 біт на байт.

Оптимальне стиснення зменшило б розмір цього файлу 4096 байт на 0 відсотків.

Розподіл квадратів Chi на 4096 зразків становить 253,00, і випадково перевищив би це значення в 52,36 відсотка разів.

Середнє арифметичне значення байтів даних становить 126,6736 (127,5 = випадкове).

Значення Монте-Карло для Pi становить 3,120234604 (помилка 0,68 відсотка).

Коефіцієнт послідовної кореляції становить 0,028195 (абсолютно некорельований = 0,0).

Так, так, використання pi для випадкових даних дасть вам досить випадкові дані ... розуміючи, що це добре відомі випадкові дані.

З коментаря вище ...

Залежно від того, що ви робите, але я думаю, ви можете використовувати децималі квадратного кореня будь-якого простого числа як генератор випадкових чисел. Вони повинні хоча б мати рівномірно розподілені цифри. - Паксинум

Отже, я обчислив квадратний корінь 2 у двійковій формі, щоб скористатися тим самим набором проблем. Використовуючи Ітерацію Вольфрама, я написав простий сценарій Perl

#!/usr/bin/perl
use strict;
use Math::BigInt;

my $u = Math::BigInt->new("2");
my $v = Math::BigInt->new("0");
my $i = 0;

while(1) {
    my $unew;
    my $vnew;

    if($u->bcmp($v) != 1) { # $u <= $v
        $unew = $u->bmul(4);
        $vnew = $v->bmul(2);
    } else {
        $unew = ($u->bsub($v)->bsub(1))->bmul(4);
        $vnew = ($v->badd(2))->bmul(2);
    }   

    $v = $vnew;
    $u = $unew;

    #print $i,"  ",$v,"\n";
    if($i++ > 10000) { last; }
}

open (BITS,"> bits.txt");
print BITS $v->as_bin();
close(BITS);

Виконуючи це протягом перших 10 збігається A095804, тому я був впевнений, що я мав послідовність. Значення v _n, як записане у двійковій формі, з двійковою точкою, розміщеною після першої цифри, дає апроксимацію квадратного кореня 2.

Використання ent проти цих двійкових даних створює:

Entropy = 7.840501 bits per byte.

Optimum compression would reduce the size
of this 1251 byte file by 1 percent.

Chi square distribution for 1251 samples is 277.84, and randomly
would exceed this value 15.58 percent of the times.

Arithmetic mean value of data bytes is 130.0616 (127.5 = random).
Monte Carlo value for Pi is 3.153846154 (error 0.39 percent).
Serial correlation coefficient is -0.045767 (totally uncorrelated = 0.0).

Ну, серед інших властивостей генератора випадкових чисел ви, мабуть, хочете, щоб це було нормальне число . І кілька відповідей на питання math.SE, які надихнули ваше запитання, вказують на те, що в даний час пі вважається нормальним, але це не було доведено.

Такий генератор був би генератором псевдо-чисел, тобто даючи однакове насіння, результат завжди був би однаковий. Це говориться, у більшості фреймворків, коли ви використовуєте стандартний генератор випадкових чисел, виникає та сама проблема, як псевдовипадкові.

Розподіл цифр здається досить подібним до стандартних генераторів випадкових чисел¹, тому цифри π можуть використовуватися для звичайних сценаріїв генерації випадкових чисел.

Проблема полягає в тому, що алгоритм, ймовірно, буде дуже повільним, порівняно зі звичайними генераторами випадкових чисел, тому це не дуже корисно на практиці.

^{Я вважаю, що це правда, але не маю жодних доказів. Було б цікаво (і не ускладнювати) зробити порівняння на основі великої кількості цифр.}

Випадковість цифр pi (або з цього приводу будь-яка інша послідовність) може бути виправдано перевірена так званими «тестами на батареї». Один з популярних тестів на акумулятори - це тест батареї Джорджа Марсагліа Diehard Battery . Існує також спеціальна публікація NIST 800-22, яка описує ряд таких тестів та результати застосування цих тестів до ряду фізичних констант, включаючи - lo та be - pi для понад мільйон біт. Результат pi наведено в Додатку B до звіту і виглядає так:

Statistical Test                            P-value
Frequency                                   0.578211
Block Frequency (m = 128)                   0.380615
Cusum-Forward                               0.628308
Cusum-Reverse                               0.663369
Runs                                        0.419268
Long Runs of Ones                           0.024390
Rank                                        0.083553
Spectral DFT                                0.010186
Non-overlapping Templates (m = 9, B = 000000001)          0.165757
Overlapping Templates (m = 9)               0.296897
Universal                                   0.669012
Approximate Entropy (m = 10)                0.361595
Random Excursions (x = +1)                  0.844143
Random Excursions Variant (x = -1)          0.760966
Linear Complexity (M = 500)                 0.255475
Serial (m = 16, 2m∇Ψ )                      0.143005

Пі хороший генератор випадкових послідовностей? Подивіться на наведені вище результати (або пошукайте значення змінної лівої колонки, якщо ви не маєте поняття, що вони означають), і перевірте, чи задовольняють вони ваші потреби.