що є ефективним способом пошуку десяткових повторень

Я намагаюся знайти ефективний алгоритм на Java, щоб знайти повторювану десяткову частину двох цілих чисел aі bде a/b.

напр. 5/7 = 0,714258 714258 ....

В даний час я знаю лише метод довгого поділу.

Я вважаю, що тут є два загальні підходи, ви, по суті, можете "грубою силою" шукати найдовший ряд, що повторюється, або ви можете вирішити це як проблему теорії чисел.

З давніх часів я зіткнувся з цією проблемою, але окремий випадок (1 / n) - це проблема № 26 проекту Project Euler, тому ви, можливо, зможете знайти більше інформації, шукаючи ефективні рішення для цього конкретного імені. Один пошук веде нас на веб-сайт Елі Бендерського, де він пояснює своє рішення . Ось деякі теорії зі сторінки Десятичні розширення Mathworld :

Будь-яка нерегулярна частка m/nє періодичною і має період, lambda(n)незалежний від m, який є не більшістю n-1 цифр. Якщо nвідносно просте 10, то період lambda(n)" m/nє дільником" phi(n)і має максимум phi(n)цифр, де phiє коефіцієнт підсилення. Виявляється, lambda(n)це мультиплікативний порядок 10 (мод n) (Glaisher 1878, Lehmer 1941). Кількість цифр у повторюваній частині десяткового розширення раціонального числа також можна знайти безпосередньо з мультиплікативного порядку його знаменника.

Моя теорія чисел на даний момент трохи іржава, тому найкраще, що я можу зробити, - це вказати вам у цьому напрямку.

Нехай n < d, і ви намагаєтесь з'ясувати повторювану частину n/d. Нехай pбуде кількість цифр у повторюваній частині: тоді n/d = R * 10^(-p) + R * 10^(-2p) + ... = R * ((10^-p)^1 + (10^-p)^2 + ...). Закріплена частина - це геометричний ряд, рівний 1/(10^p - 1).

Отже n / d = R / (10^p - 1). Переставити для отримання R = n * (10^p - 1) / d. Щоб знайти R, переведіть цикл pвід 1 до нескінченності та зупиніться, як тільки dрівномірно розділиться n * (10^p - 1).

Ось реалізація в Python:

def f(n, d):
    x = n * 9
    z = x
    k = 1
    while z % d:
        z = z * 10 + x
        k += 1
    return k, z / d

( kвідслідковує довжину повторюваної послідовності, тому ви можете розрізняти, наприклад, 1/9 та 1/99)

Зауважте, що ця реалізація (за іронією долі) циклічно назавжди, якщо десяткове розширення кінцеве, але припиняється, якщо вона нескінченна! Ви можете перевірити цей випадок, оскільки n/dвін матиме кінцеве десяткове представлення лише у тому випадку, якщо всі найпростіші коефіцієнти d, які не є 2 або 5, також є у n.

Довгий поділ? : /

Перетворіть результат у рядок, а потім застосуйте до нього цей алгоритм . Використовуйте BigDecimal, якщо ваш рядок недостатньо довгий із звичайними типами.