Чому деякі мови переходять до найближчого цілого числа EVEN?

Мови програмування, як схема (R5RS) та Python ( див. Це запитання ), спрямовуються до найближчого парного цілого числа, коли значення точно знаходиться між навколишніми цілими числами.

Які міркування за цим?
Чи є математична ідея, яка робить наступні обчислення легшими для міркувань?

(R5RS згадує стандарт плаваючої крапки IEEE як джерело такої поведінки.)

Деякий час тому я створив тестову програму для послідовного округлення, оскільки це в основному найгірший стрес-тест для алгоритму округлення.

Для кожного числа від 0 до 9999 він спочатку обходить до найближчого 10, потім до найближчого 100, потім до найближчого 1000. (Ви також можете подумати про це, як 10 000 балів у [0,1) округлені до 3-х місць, потім до 2, потім до 1.) Цей набір чисел має середнє значення 4999,5.

Якщо всі три заокруглень виконані з використанням методи «круглий половина вгору», то результати виглядають наступним чином (перший стовпець округлення результату, другий стовпець як багато чисел з округленням до цього результату - тобто це гістограма).

0     445
1000  1000
2000  1000
3000  1000
4000  1000
5000  1000
6000  1000
7000  1000
8000  1000
9000  1000
10000 555

Результат відрізняється від однієї "круглої половини" до найближчої тисячі 550 разів з 10 000, а середнє округлене значення - 5055 (вище, ніж початкове середнє на 55,5).

Якщо всі три округлення виконуються "круглою половиною вниз", то результати такі:

0     556
1000  1000
2000  1000
3000  1000
4000  1000
5000  1000
6000  1000
7000  1000
8000  1000
9000  1000
10000 444

Результат відрізняється від однієї "круглої половини вниз" до найближчої тисячі 550 разів з 10 000, а середня округлена величина - 4944 (занадто низька на 55,5).

Якщо всі три округлення виконуються за допомогою "круглої половини", результат:

0     445
1000  1111
2000  889
3000  1111
4000  889
5000  1111
6000  889
7000  1111
8000  889
9000  1111
10000 444

Результат відрізняється від одиничної "нечетної круглої половини" до найближчої тисячі 550 разів із 10000, а середнє округлене значення - 4999,5 (правильно).

Нарешті, якщо всі три округлення виконані за допомогою "круглої половини", результати:

0     546
1000  909
2000  1091
3000  909
4000  1091
5000  909
6000  1091
7000  909
8000  1091
9000  909
10000 1091

Результат відрізняється від однієї "круглої половини" до найближчої тисячі 450 разів із 10000, а середнє значення округлення становить 4999,5 (правильно).

Я думаю, що очевидно, що кругла половина вгору і кругла половина вниз зміщує округлені значення, так що середнє значення округлених значень більше не має таких самих очікувань, як середнє значення вихідних значень, і що "кругла половина парних" і "кругла половина непарних "усуньте зміщення, обробляючи 5 в одну сторону половини часу, а в іншу - на другу половину. Послідовне округлення збільшує зміщення.

Круглий напівчастий і напівпарний круглий вводять власний вид упередженості в розподіл: ухил до парних і непарних цифр відповідно. В обох випадках, знову ж таки, цей ухил множиться на послідовне округлення, але це гірше для половинного раунду. Я думаю, що пояснення в цьому випадку просте: 5 - це непарне число, тому половина непарної круглої форми має більше результатів, які закінчуються на 5, ніж половину круглої половини - а отже, більше результатів, які доведеться спеціально обробляти наступним округленням.

Таким чином, з чотирьох варіантів лише два є неупередженими, а з двох неупереджених варіантів кругла половина навіть дає найкращий розподіл, коли піддається повторному округленню.

Це називається заокруглення банкіра. Ідея полягає в тому, щоб мінімізувати накопичувальну помилку від багатьох операцій округлення.

Скажімо, ви завжди закруглені .5 вниз. Подумайте про всі ці невеликі відсоткові платежі, кожен раз, коли банк кидає по половині відсотків ...

Скажімо, ви завжди округлені .5 вгору. Бухгалтерський облік буде кричати, тому що ви платите більше відсотків, ніж слід.