Алгоритми: Як я сумую O (n) та O (nlog (n)) разом?

У мене є наступний алгоритм, який знаходить дублікати та видаляє їх:

public static int numDuplicatesB(int[] arr) {
    Sort.mergesort(arr);
    int numDups = 0;
    for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
        if (arr[i] == arr[i - 1]) {
            numDups++;
} }
    return numDups;
}

Я намагаюся знайти найгірший час у цьому. Я знаю, що є злиття nlog(n), і в циклі моєї ітерації я повторюю весь набір даних, щоб вважати, як n. Я не впевнений, що робити з цими номерами. Чи варто просто підсумувати їх разом? Якби я це робив, як би це зробити?

O(n) + O(n log(n)) = O(n log(n))

Для складності Big O все, що вам цікаво, є домінуючим терміном. n log(n)домінує, nтож це єдиний термін, який вас хвилює.

Давайте обґрунтуємо свій шлях та згадаємо визначення O. Той, котрим я буду користуватися, є обмеженням у нескінченності.

Ви маєте рацію в тому , що ви виконати дві операції з відповідними асимптотические межі O(n)і , O(nlog(n))але їх об'єднання в єдину кордон не так просто , як додати дві функції. Ви знаєте, що ваша функція займає принаймні O(n)час, а також хоча б O(nlog(n))час. Так на самому ділі клас складності для вашої функції є об'єднанням O(n)і O(nlog(n))але O(nlog(n))є надбудовою O(n)так на самому ділі це просто O(nlog(n)).

Якщо ви збираєтеся викладати це на довгі руки, це виглядало б приблизно так:

Припустимо, загальний час становить: an + bn log (n), де a і b - константи (ігноруючи умови нижчого порядку).

Оскільки n переходить до нескінченності (an + bn log (n)) / n log (n) -> a / log (n) + b -> b

Отже загальний час дорівнює O (bn log (n)) = O (n log (n)).

Почніть з визначення O ():

O (n log n) означає "менше, ніж C n log n, якщо n є великим".

O (n) означає "менше D n, якщо n великий".

Якщо додати обидва, результат менший ніж C n log n + D n <C n log n + D n log n <(C + D) n log n = O (n log n).

Загалом, якщо f (n)> C g (n) для великих n і деяких C> 0, то O (f (n)) + O (g (n)) = O (f (n)). І зробивши кілька випадків, використовуючи визначення O (), ви дізнаєтесь, що можна, а що не можна робити.

Велике позначення O визначається як безліч:

Отже, містяться всі функції, які - починаючи з якоїсь довільної великої точки - завжди менші за g.

Тепер, коли у вас є функція, яка є, а потім виконайте іншу, яка збільшується повільніше, ніж g, вона, безумовно, зростає повільніше, ніж 2g. Тому виконання нічого повільніше, ніж g, не змінить клас складності.

Більш офіційно:

Ви можете легко довести це.

TL; DR

Це досі