Коли триггерна функція зі ступенем аргументу повинна повертати -0,0?

При створенні Тріг функцій my_sind(d), my_cosd(d), my_tand(d), що використовували градусний аргумент , а не радіан один і давав точні відповіді на кратні 90, я помітив , що результат був іноді -0.0замість 0.0.

my_sind( 0.0) -->  0.0
my_sind(-0.0) --> -0.0

my_sind(180.0) --> -0.0
my_sind(360.0) -->  0.0

sin()і, tan()як правило, повертають один і той же знак нульового результату для заданого знаку нульового вводу. my_sin()Має сенс, що має відповідати sin()цим входам.

my_sind( 0.0) alike sin( 0.0) -->  0.0
my_sind(-0.0) alike sin(-0.0) --> -0.0

Питання полягає в тому : для того, що ціле число non_zero_nповинне / може результат коли - або повертатися -0.0до my_sind(180*non_zero_n), my_cosd(180*n + 180), my_tand(180*non_zero_n)?

Легко досить коду , щоб тільки f(-0.0)виробляє -0.0і зробити з неї. Просте цікаво, чи є якась причина зробити інше f(x) повернення -0.0за будь-яке інше ( не нульове ) xта важливість страхування цього знака.

Примітка. Це не питання про те, чому відбувається 0.0проти -0.0. Це не чому cos(machine_pi/4)не повертається 0.0. Це також не питання про те, як контролювати генерацію 0.0або -0.0. Я найкраще бачу це питання дизайну.

Принцип дизайну "найменшого сюрпризу" пропонує нам звернутися до раніше встановленої функціональності для керівництва. В цьому випадку, найближчий встановлено функціональність забезпечується sinpiі cospiфункції введені в IEEE Std 754-2008 (Стандарт IEEE Standard для арифметики з плаваючою точкою), розділ 9. Ці функції не є частиною діючих стандартів ISO C і ISO C ++, але були включені в математичні бібліотеки різних платформ програмування, наприклад CUDA.

Ці функції обчислюють sin (πx) і cos (πx), де множення на π відбувається неявно всередині функції. tanpiне визначено, але можна, виходячи з математичної еквівалентності, вважати, що вона забезпечує функціональність відповідно до tanpi(x) = sinpi(x) / cospi(x).

Тепер ми можемо визначити sind(x) = sinpi(x/180), cosd(x) = cospi(x/180), tand(x) = tanpi(x/180)інтуїтивним чином. У розділі 9.1.2 IEEE-754 описано обробку спеціальних аргументів для sinpiта cospi. Зокрема:

sinPi (+ n) дорівнює +0, а sinPi (−n) - 0 для додатних цілих чисел n. Це означає, що при відповідних режимах округлення sinPi (−x) і −sinPi (x) є однаковим числом (або обома NaN) для всіх x. cosPi (n + ½) дорівнює +0 для будь-якого цілого числа n, коли n + ½ є репрезентабельним.

Стандарт IEEE 754-2008 не дає обґрунтування цитованим вимогам, однак, на початку проекту відповідного розділу зазначено:

Якщо значення функції дорівнює нулю, знак цього 0 найкраще визначається, розглядаючи безперервне розширення знакової функції математичної функції.

Ознайомлення з поштовим архівом 754 робочої групи може дати додаткові відомості, я не мав часу переглядати його. Реалізація sind(), cosd()і , tand()як описано вище, потім ми приходимо до цієї таблиці зразкових випадків:

SIND
 angle value 
  -540 -0
  -360 -0
  -180 -0
     0  0
   180  0
   360  0
   540  0

COSD
 angle value
  -630  0
  -450  0
  -270  0
   -90  0
    90  0
   270  0
   450  0

TAND
 angle value
  -540  0
  -360 -0
  -180  0
     0  0
   180 -0
   360  0
   540 -0

sin () і tan (), як правило, повертають один і той же знак нульового результату для заданого знаку нульового вводу

Це може бути правдою, оскільки:

• Швидкість / точність . Для досить маленьких пар, найкраща відповідь - sin(x)це x. Тобто, для чисел, менших ніж приблизно 1.49e-8, найближчим подвійним до синуса x є насправді x сам (див. Вихідний код glibc для sin () ).

• Поводження з особливими справами .

  На знак нуля впливає кілька надзвичайних арифметичних операцій; наприклад, "1/(+0) = +inf"але "1/(-0) = -inf". Щоб зберегти свою корисність, бітовий знак повинен поширюватися за допомогою певних арифметичних операцій згідно з правилами, отриманими з міркувань безперервності.

  Реалізація елементарних трансцендентальних функцій, таких як sin (z) та tan (z) та їх обертання та гіперболічні аналоги, хоча і не визначені стандартами IEEE, повинні дотримуватися подібних правил. Очікується, що реалізація sin(z) відтворить знак z , а також його значення приz = ±O .

  ^{( Відсічки відгалужень для складних елементарних функцій або багато чого про біт знака У. Кахана)}

  Негативно підписаний нуль перегукується з математичним аналізом щодо наближення 0 знизу як до однобічного межі (врахуйте 1 / sin(x): знак нуля робить величезну різницю).

EDIT

Розглядаючи другий пункт, я б написав my_sindтак:

my_sind(-0.0) is -0.0
my_sind(0.0) is 0.0

Останній стандарт C (F.10.1.6 sinта F.10.1.7 tan, реалізації з підписаним нулем) вказує, що якщо аргумент ±0, він повертається немодифікованим .

EDIT 2

Щодо інших значень, я думаю, це питання наближення. Дано M_PI<π:

0 = sin(π) < sin(M_PI) ≈ 1.2246467991473532e-16 ≈ +0.0
0 = sin(-π) > sin(-M_PI) ≈ -1.2246467991473532e-16 ≈ -0.0
0 = sin(2*π) > sin(2*M_PI) ≈ -2.4492935982947064e-16
0 = sin(-2*π) < sin(-2*M_PI) ≈ 2.4492935982947064e-16

Тож якщо my_sindнадати точні відповіді при кратності 180 °, він може повернутися +0.0або -0.0(я не бачу чіткої причини віддати перевагу одній над іншою).

Якщо my_sindвикористовується деяке наближення (наприклад, degree * M_PI / 180.0формула перетворення), слід врахувати, як воно наближається до критичних значень.

Бібліотека не намагається відрізнити +0 від -0. IEEE 754 дуже непокоїть цю відмінність ... Я знайшов функції [в математиці.h] досить важкими, щоб писати, не роздумуючи про знак нічого. - PJ Plauger, The Standard C Library , 1992, стор. 128.

Формально функції тригу повинні повернути знак нуля відповідно до стандарту С ..., що залишає поведінку невизначеною.

В умовах невизначеної поведінки принцип найменшого здивування пропонує дублювати поведінку відповідної функції math.h. Це пахне виправдано, в той час як розходяться від поведінки відповідної функції в math.hзапахах, як спосіб ввести помилки в точно той код, який залежить від знаку нуля.