Відповідь Міффа, безумовно, елегантна. Так як у мене шахта майже не закінчилася, я все-таки надаю її. Хороша річ, що я отримую однаковий результат для n = 500 :-)
Нехай d - кількість різних символів, дозволених, d = 4 у вашому випадку.
Нехай n - довжина рядка, зрештою, ви будете дивитися на рівні n.
Нехай u - кількість непарних символів у рядку.
Нехай N (n, d, u) - кількість рядків довжиною n, побудованих з d різних символів і мають u непарних символів. Давайте спробуємо обчислити N.
Існує досить багато важливих випадків:
u> d або u> n => N = 0
u <0 => N = 0
n% 2! = u% 2 => N = 0.
При переході від n до n + 1 u повинно або збільшитися на 1, або зменшити на 1, тому у нас є рекурсія відповідно до
N (n, d, u) = f (N (n-1, d, u-1), N (n-1, d, u + 1))
Скільки існує способів зменшити u на один. Це легко, тому що ми повинні з'єднати один з u непарних символів, що робить його просто u. Отже, 2-а частина f буде читати (u + 1) * N (n-1, d, u + 1), з попередженням, звичайно, що ми повинні дотримуватися, що N = 0, якщо u + 1> n-1 або u +1> d.
Після того, як ми зрозуміли це, легко зрозуміти, що таке перша частина f: на скільки способів ми можемо збільшити u, коли є неспарені символи u-1. Ну, ми повинні вибрати один із (k- (u-1)) символів, які є парними.
Отже, враховуючи всі кутові випадки, рекурсивна формула для N є
N (n, d, u) = (d- (u-1)) * N (n-1, d, u-1) + (u + 1) * N (n-1, d, u + 1)
Я не збираюся читати в http://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_Mathematics, як вирішити рекурсію.
Натомість я написав код Java. Знову трохи незграбніше, як і в будь-якому випадку Java через свою багатослів’я. Але в мене була мотивація не використовувати рекурсії, оскільки вона перервана далеко-рано, принаймні на Яві, коли стек переповнюється на рівні 500 або 1000 вкладення.
Результат при n = 500, d = 4 і u = 0 дорівнює:
N (500, 4, 0) = 1339385758982834151185531311325002263201756014631917009304687985462938813906170153116497973519619822659493341146941433531483931607115392554498072196838958545795769042788035468026048125208904713757765805163872455056995809556627183222337328039422584942896842901774597806462162357229520744881314972303360
обчислюється за 0,2 секунди, завдяки запам'ятовуванню проміжних результатів. N (40000,4,0) обчислює менше ніж за 5 секунд. Код також тут: http://ideone.com/KvB5Jv
import java.math.BigInteger;
public class EvenPairedString2 {
private final int nChars; // d above, number of different chars to use
private int count = 0;
private Map<Task,BigInteger> memo = new HashMap<>();
public EvenPairedString2(int nChars) {
this.nChars = nChars;
}
/*+******************************************************************/
// encodes for a fixed d the task to compute N(strlen,d,unpaired).
private static class Task {
public final int strlen;
public final int unpaired;
Task(int strlen, int unpaired) {
this.strlen = strlen;
this.unpaired = unpaired;
}
@Override
public int hashCode() {
return strlen*117 ^ unpaired;
}
@Override
public boolean equals(Object other) {
if (!(other instanceof Task)) {
return false;
}
Task t2 = (Task)other;
return strlen==t2.strlen && unpaired==t2.unpaired;
}
@Override
public String toString() {
return "("+strlen+","+unpaired+")";
}
}
/*+******************************************************************/
// return corner case or memorized result or null
private BigInteger getMemoed(Task t) {
if (t.strlen==0 || t.unpaired<0 || t.unpaired>t.strlen || t.unpaired>nChars
|| t.strlen%2 != t.unpaired%2) {
return BigInteger.valueOf(0);
}
if (t.strlen==1) {
return BigInteger.valueOf(nChars);
}
return memo.get(t);
}
public int getCount() {
return count;
}
public BigInteger computeNDeep(Task t) {
List<Task> stack = new ArrayList<Task>();
BigInteger result = null;
stack.add(t);
while (stack.size()>0) {
count += 1;
t = stack.remove(stack.size()-1);
result = getMemoed(t);
if (result!=null) {
continue;
}
Task t1 = new Task(t.strlen-1, t.unpaired+1);
BigInteger r1 = getMemoed(t1);
Task t2 = new Task(t.strlen-1, t.unpaired-1);
BigInteger r2 = getMemoed(t2);
if (r1==null) {
stack.add(t);
stack.add(t1);
if (r2==null) {
stack.add(t2);
}
continue;
}
if (r2==null) {
stack.add(t);
stack.add(t2);
continue;
}
result = compute(t1.unpaired, r1, nChars-t2.unpaired, r2);
memo.put(t, result);
}
return result;
}
private BigInteger compute(int u1, BigInteger r1, int u2, BigInteger r2) {
r1 = r1.multiply(BigInteger.valueOf(u1));
r2 = r2.multiply(BigInteger.valueOf(u2));
return r1.add(r2);
}
public static void main(String[] argv) {
int strlen = Integer.parseInt(argv[0]);
int nChars = Integer.parseInt(argv[1]);
EvenPairedString2 eps = new EvenPairedString2(nChars);
BigInteger result = eps.computeNDeep(new Task(strlen, 0));
System.out.printf("%d: N(%d, %d, 0) = %d%n",
eps.getCount(), strlen, nChars,
result);
}
}