Час складності 2 ^ sqrt (n)

Я вирішую питання щодо алгоритму, і мій аналіз полягає в тому, що він би працював на O (2 ^ sqrt (n)). Наскільки це велике? Чи дорівнює це О (2 ^ n)? Це все-таки неполіномічний час?

Це цікаве питання. На щастя, раз ви знаєте, як це вирішити, це не особливо важко.

Для функцій F : N → R ⁺ і г : N → R ⁺ , ми маємо ф ∈ O ( г ) тоді і тільки тоді , коли Нт вир _{п → ∞} ф ( п ) / г ( п ) ∈ R .

Функція f : N → R ⁺ має максимум поліноміального зростання тоді і тільки тоді, коли існує константа k ∈ N така, що f ∈ O ( n ↦ n ^k ). Давайте працювати це для довільного , але фіксованого до ∈ N .

lim sup _{n → ∞} 2 ^{( n 1/2 )} / n ^k =
lim _{n → ∞} 2 ^{( n 1/2 )} / n ^k =
lim _{n → ∞} e ^{log (2) n 1/2} / e ^{log ( n ) k} =
lim _{n → ∞} e ^{log (2) n 1/2 - log ( n ) k} = ∞ ∉ R

Перша рівність справедлива тому, що обидва, іменник, і знаменник, монотонно зростають стійкими функціями. У другій рівності використовується тотожність x ^y = e ^{log ( x ) y} . Межа не є кінцевою, тому що показник у кінцевому виразі не обмежений вище. Не надаючи формального доказу, можна припустити, що відомо, що n ^1/2 домінує над log ( n ) асимптотично. Тому функція, про яку йдеться, перевершує зростання поліномів.

Однак його ріст суворо менший, ніж експонентний, де експоненція визначається (для мене для цієї мети) як O ( n ↦ 2 ^{c n} ) для c > 0. Показати це ще більше прямо.

lim sup _{n → ∞} 2 ^{c n} / 2 ^{( n 1/2 )} = lim _{n → ∞} 2 ^{c n - n 1/2} = ∞ ∉ R

для будь-якого фіксованого c > 0. Отже, складність функції десь справді знаходиться між поліном і експоненціалом.

Наскільки це велике? Що ж, O (2 ^ sqrt (n)) - саме те, наскільки він великий :-(

Щоб зрозуміти, що це означає, уявіть, що ваш алгоритм буде не просто O (2 ^ sqrt (n)), а тим, що він фактично займає саме 2 ^ sqrt (n) наносекунди на вашому комп’ютері:

n = 100: 2 ^ 10 = 1024 наносекунд. Немає часу взагалі. n = 1000: 2 ^ 31.xxx = 2 мільярди наносекунд. Дві секунди, це помітно. n = 10000: 2 ^ 100 ≈ 10 ^ 30 наносекунд = 10 ^ 21 секунди = 30 трильйонів років.

Це набагато краще, ніж 2 ^ n наносекунд, де n = 100 займе 30 трильйонів років, але все ж розмір проблем, які ви можете вирішити, досить обмежений. Якщо ви вважаєте проблему "вирішуваною", якщо ваш комп'ютер може її вирішити за один тиждень, це приблизно 6 x 10 ^ 14 наносекунд, це приблизно n = 2400. З іншого боку, до n = 400 можна вирішити в мілісекундах.

(На практиці для n = 10000 і O (2 ^ sqrt (n)), і O (2 ^ n) займають рівно однаковий час: Занадто довго чекати на нього.)

Він перевершує будь-який многочлен. Візьміть інший алгоритм, який займає n ^ 1000 секунд. Що практично нерозв’язно для n = 2. Цей алгоритм займає більше часу, поки n не стане приблизно 885 мільйонів. Але справді, кого це хвилює? У цей момент кількість років, які беруть обидва алгоритми, - це 9000-значний номер.