Як визначити час виконання подвійної рекурсивної функції?

З огляду на будь-яку довільно подвійну рекурсивну функцію, як можна обчислити її час виконання?

Наприклад (у псевдокоді):

int a(int x){
  if (x < = 0)
    return 1010;
  else
    return b(x-1) + a(x-1);
}
int b(int y){
  if (y <= -5)
    return -2;
  else
    return b(a(y-1));
}

Або щось у цьому напрямку.

Які методи можна чи потрібно використовувати для визначення чогось подібного?

Ви продовжуєте змінювати свою функцію. Але продовжуйте вибирати ті, які працюватимуть назавжди без конверсії.

Рекурсія ускладнюється, швидко. Перший крок до аналізу запропонованої подвійно-рекурсивної функції - спробувати простежити її на деяких вибіркових значеннях, щоб побачити, що вона робить. Якщо ваш обчислення потрапляє у нескінченний цикл, функція недостатньо визначена. Якщо ваш розрахунок потрапляє в спіраль, яка продовжує отримувати великі числа (що буває дуже легко), він, ймовірно, недостатньо визначений.

Якщо відстеження його дає відповідь, то ви намагаєтесь знайти якийсь закономірність або повторення між відповідями. Після цього ви можете спробувати з'ясувати час його виконання. З'ясувати це може бути дуже, дуже складно, але у нас є такі результати, як теорема Майстра, що дозволяють нам з'ясувати відповідь у багатьох випадках.

Будьте уважні, що навіть при одиночній рекурсії легко придумати функції, час виконання яких ми не знаємо, як обчислити. Наприклад, врахуйте наступне:

def recursive (n):
    if 0 == n%2:
        return 1 + recursive(n/2)
    elif 1 == n:
        return 0
    else:
        return recursive(3*n + 1)

Це в даний час невідомо , буде чи завжди добре визначена ця функція, НЕ кажучи вже про його виконання є.

Виконання цієї конкретної пари функцій нескінченне, оскільки жоден не повертається, не викликаючи іншої. Значення, що повертається aє завжди залежить від значення, що повертається виклику , bякий завжди викликає a... і те, що відомо як нескінченна рекурсию .

Очевидний метод - запустити функцію і виміряти, скільки часу потрібно. Це лише говорить про те, скільки часу займає певний вклад. І якщо ви заздалегідь не знаєте, що функція припиняється, важко: немає механічного способу з’ясувати, чи припиняється функція - це проблема зупинки , і це не можна вирішити.

Теорема Райса аналогічно не визначить час виконання функції функції . Насправді теорема Райса показує, що навіть вирішити, чи функція працює в O(f(n))часі, не можна визначити.

Тож найкраще, що ти можеш зробити, - це використовувати свій людський інтелект (який, наскільки ми знаємо, не обмежений межами машин Тьюрінга) і спробувати розпізнати зразок або винайти його. Типовим способом аналізу часу виконання функції є перетворення рекурсивного визначення функції в рекурсивне рівняння на час його виконання (або набір рівнянь для взаємно рекурсивних функцій):

T_a(x) = if x ≤ 0 then 1 else T_b(x-1) + T_a(x-1)
T_b(x) = if x ≤ -5 then 1 else T_b(T_a(x-1))

Що далі? Тепер у вас є математична задача: вам потрібно вирішити ці функціональні рівняння. Підхід, який часто працює, полягає в тому, щоб перетворити ці рівняння на цілі функції на рівняння на аналітичних функціях та використовувати обчислення для їх вирішення, інтерпретуючи функції T_aта T_bяк генеруючі функції .

Щодо генерації функцій та інших дискретних тем з математики, я рекомендую книгу " Конкретна математика " Рональда Грема, Дональда Кнута та Орена Паташника.

Як зазначали інші, аналіз рекурсії може отримати дуже важкий результат дуже швидко. Ось ще один приклад такої речі: http://rosettacode.org/wiki/Mutual_recursion http://en.wikipedia.org/wiki/Hofstadter_sequence#Hofstadter_F Female_and_Male_ наслідки важко обчислити відповідь та час їх виконання. Це пов’язано з цими взаємно-рекурсивними функціями, що мають "складну форму".

Як би то не було, давайте розглянемо цей простий приклад:

http://pramode.net/clojure/2010/05/08/clojure-trampoline/

(declare funa funb)
(defn funa [n]
  (if (= n 0)
    0
    (funb (dec n))))
(defn funb [n]
  (if (= n 0)
    0
    (funa (dec n))))

Почнемо з спроби обчислити funa(m), m > 0:

funa(m) = funb(m - 1) = funa(m - 2) = ... funa(0) or funb(0) = 0 either way.

Час виконання:

R(funa(m)) = 1 + R(funb(m - 1)) = 2 + R(funa(m - 2)) = ... m + R(funa(0)) or m + R(funb(0)) = m + 1 steps either way

Тепер виберемо ще один, трохи складніший приклад:

Натхненний http://planetmath.org/encyclopedia/MutualRecursion.html , який добре читається сам по собі, давайте подивимось на: "" "Числа Фібоначчі можна інтерпретувати за допомогою взаємної рекурсії: F (0) = 1 і G (0 ) = 1, при F (n + 1) = F (n) + G (n) і G (n + 1) = F (n). ""

Отже, який час виконання F? Ми підемо іншим шляхом.
Ну, R (F (0)) = 1 = F (0); R (G (0)) = 1 = G (0)
Тепер R (F (1)) = R (F (0)) + R (G (0)) = F (0) + G (0) = F (1)
...
Не важко зрозуміти, що R (F (m)) = F (m) - наприклад, кількість викликів функції, необхідних для обчислення числа Фібоначчі в індексі i, дорівнює значенню числа Фібоначчі за індексом i. Це передбачало, що додавання двох чисел разом набагато швидше, ніж виклик функції. Якби це не було, то це було б правдою: R (F (1)) = R (F (0)) + 1 + R (G (0)), і аналіз цього був би складнішим, можливо, без легкого рішення закритої форми.

Закриту форму послідовності Фібоначчі не обов'язково легко винаходити, не кажучи вже про деякі складніші приклади.

Перше, що потрібно зробити, це показати, що визначені вами функції припиняються і для яких значень точно. У прикладі, який ви визначили

int a(int x){
  if (x < = 0)
    return 1010;
  else
    return b(x-1) + a(x-1);
}
int b(int y){
  if (y <= -5)
    return -2;
  else
    return b(a(y-1));
}

bприпиняється лише y <= -5тому, що якщо ви підключите будь-яке інше значення, то у вас буде термін форми b(a(y-1)). Якщо ви зробите трохи більше розширення, ви побачите, що термін форми b(a(y-1))врешті-решт призводить до терміна, b(1010)який призводить до терміна, b(a(1009))який знову призводить до терміна b(1010). Це означає, що ви не можете підключити будь-яке значення до aцього, яке не задовольняє, x <= -4оскільки якщо ви закінчитеся з нескінченним циклом, де значення для обчислення залежить від значення, яке потрібно обчислити. Тому по суті цей приклад має постійний час роботи.

Отже, проста відповідь полягає в тому, що не існує загального методу визначення часу виконання рекурсивних функцій, оскільки немає загальної процедури, яка визначає, чи припиняється рекурсивно визначена функція.

Виконання як у Big-O?

Це легко: O (N) - якщо припустити, що існує умова припинення.

Рекурсія є просто циклічною, а простий цикл - O (N), незалежно від того, скільки речей ви робите в цьому циклі (а виклик іншого методу - це ще один крок у циклі).

Де було б цікаво, якщо у вас є цикл у межах одного або декількох рекурсивних методів. У такому випадку ви б закінчилися якоюсь експоненціальною продуктивністю (множенням на O (N) при кожному проходженні методом).