Нерозуміння оцінки Монте-Карло Пі

Я цілком впевнений, що розумію, як працює інтеграція Монте-Карло, але не розумію формулювання того, як вона використовується для оцінки Pi. Я проходжусь за процедурою, викладеною на 5-му слайді цієї презентації http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

Я розумію попередні кроки. Пі дорівнює 4-кратній площі чверті одиничного кола. А площа правої верхньої чверті одиничного кола, з центром (0,0), еквівалентна інтегралу кривої, яка є правою вгорі чвертю одиничного кола в$0<x<1$ і $0<y<1$.

Я не розумію, як це інтеграл

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

де рівномірно розподілений в одиничному квадраті навколо чвертного кола (тобто він завжди дорівнює 1, якщо 0 <x <1 і 0 <y <1 і 0 в іншому випадку). Отже, це означало б, що I ((x ^ 2 + y ^ 2) <1) P (x, y) - це функція, яка є праворучним квадрантом одиничного кола при 0 <x <1 та 0 <y < 1, але я не розумію, як це правда, оскільки функція індикатора може бути лише 1 або 0. Я розумію, що, мабуть, написано таким чином, щоб зробити вибірку Монте-Карло просто (тобто це очікування, тому просто зразок з P (x , y) і отримаємо середнє значення для зразків, застосованих до I ((x ^ 2 + y ^ 2) <1)$P(x,y)$$0<x<1$$0<y<1$$I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
$0<x<1$$0<y<1$$P(x,y)$$I((x^2+y^2)<1)$), але це просто не має для мене інтуїтивного сенсу, чому цей інтеграл представляє область під цією кривою.

Чи міг би хтось надати інтуїтивне пояснення цього. Може, покажіть, як цей інтеграл виводився поетапно?

Редагувати:

Мені вдалося краще зрозуміти, пов’язавши очікування з місцевістю. Я поясню це тут, якщо він комусь допоможе. Спочатку почніть з відношення Pi до області правого верхнього квадранта одиничного кола

$\pi=4\times A_{tr}$

Потім розміщуємо верхній правий квадрант на одиницю квадрата. А при рівномірному розподілі по одиничній площі площа квадрату кола пропорційна ймовірності отримання з нього вибірки. Звідси випливає, що справедлива наступна рівність

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

і $A_{square}=1$ так

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

І підставляючи в початкове рівняння

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

і також вірно, що який дорівнює початковому подвійному інтегралу.$P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

Тому я зрозумів це, пов'язуючи область з ймовірністю, а потім пов’язуючи цю ймовірність із очікуванням, еквівалентним інтегралу. Повідомте мене, чи допустив я якісь помилки.

Площа кола кола радіусом дорівнює . Це означає, що чверть кола має площу . Це означає, що квадрат зі стороною радіус кола як .$l$$\pi l^2$$l^2\pi/4$$area=l^2$

Це означає, що відношення між площею чверті кола і площею квадрата дорівнює . $\pi/4$

Точка знаходиться в квадраті, якщо . і це в чверті кола, якщо . $(x,y)$$0<x<1, 0<y<1$$0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

Ваш інтеграл такий Це саме площа, описана чвертю кола$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

Найпростіше інтуїтивне пояснення спирається на розуміння того, що . Таким чином, . Як тільки ви зрозумієте, що подвійний інтегал - це просто ймовірність, він повинен мати інтуїтивний сенс, що ви можете вибирати і з одиничного квадрата і обчислювати пропорцію малюнків, для яких . $E(I(A)) = P(A)$$\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$$x$$y$$x^2 + y^2 <1$

Можливо, інший фрагмент інтуїції, який не вистачає у вашому розумінні, - це зв’язок між областю та ймовірністю. Оскільки площа всього одиничного квадрата дорівнює 1 і точок рівномірно розподілені в межах квадрата, площа будь-якій області в межах одиничного квадрата буде відповідати ймовірності того, що випадково обрана точка буде знаходитися в межах .$(x,y)$$A$$A$

Я приземлився на цьому сервісному резюме, і бачу, що код Монте-Карло знаходиться в Октаві. У мене, мабуть, є моделювання в R, яке робить ідею виведення числа як двовимірного рівномірного розподілу в площині під обмеженнями інтегралів в ОП дуже інтуїтивно зрозумілим:$\pi$$[0,1]$

Враховуючи, що чверть кола укладена в 1-одиничний квадрат, площа дорівнює . Таким чином, генерування рівномірно розподілених точок у квадраті закінчиться килимом всього квадрата, і обчислення дробу, що виконує буде рівнозначним інтеграції оскільки ми лише вибираємо дріб крапок у колі по відношенню до одиничної площі:$\pi/4$$(x,y)$$1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$$∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

Ми можемо побудувати значення, що падають в радіусі, серед 10000 малюнків:

І ми можемо, природно, наблизитися і наблизитись, вибравши більше точок. Маючи 1 мільйон балів, ми отримуємо:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

дуже приблизний результат. Ось сюжет: