Граничне розподіл діагоналі зворотної матриці Вішарта

Припустимо, . Мене цікавить граничний розподіл діагональних елементів . Існує кілька простих результатів щодо розподілу підматриць (принаймні деякі, перелічені у Вікіпедії). З цього можу зрозуміти, що граничний розподіл будь-якого одного елемента по діагоналі є зворотною Гаммою. Але я не зміг вивести спільний розподіл. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

Я думав, може, це може бути отримане за складом, як-от:

p (x_{11} | x_{i i}, i > 1) p (x_{22} | x_{i i}, i > 2) \dots p (x_{(p - 1) (p - 1)} | x_{p p}) p (x_{p p}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

але я ніде з цим не стикався і далі підозрюю, що пропускаю щось просте; здається, що це "повинно" бути відомо, але я не зміг його знайти / показати.

distributions probability pdf

— JMS
джерело

Пропозиція 7.9 Білодо та Бреннера (pdf є у вільному доступі в Інтернеті) дає багатообіцяючий результат для Вішарта (можливо, він переносить і зворотний Вісхарт). Якщо розділити

на блоки як

, то

- Вішарт, як і

, і вони незалежні.

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

— shabbychef

Це судження застосовується лише в тому випадку, якщо ви знаєте всю матрицю: якщо ви отримали лише діагональ, то ви не знаєте, наприклад,

, тому ви не можете зробити перетворення.

X_{12}

$X_{12}$

— petrelharp

Σ = діагностувати (Σ) Q діагностувати (Σ)^{⊤} = D Q D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

$d$ $\Sigma$

Σ \sim Я W (ν + г - 1, 2 ν Λ), ν > г - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

$\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{i i} \sim запрошення χ^{2} (ν + г - 1, \frac{λ_{i i}}{ν - г + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

Посилання приємно з різними настоятелями для ковариационной матриці , які розкладаються в різні розподілу дисперсії кореляції даються тут

— user3303
джерело